자연계열 B 3번

(3-1) $\displaystyle \angle\mathrm{PO_2O_1}=\beta$라 하자. 원 $\displaystyle C_1$의 점 $\displaystyle \mathrm P$에서의 접선과 선분 $\displaystyle \mathrm{PO_1}$이 서로 수직이며, 원 $\displaystyle C_2$의 점 $\displaystyle \mathrm P$에서의 접선과 선분 $\displaystyle \mathrm{PO_2}$가 서로 수직이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{O_1PO_2}=\frac{5\pi}6$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha+\beta=\frac\pi6$이므로, $\displaystyle \angle\mathrm{PO_2O_1}=\beta=\frac\pi6-\alpha$이다.

그리고 $\displaystyle \alpha>0$, $\displaystyle \beta>0$이므로 $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi6$이다.

또한, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{O_1O_2P}$에 사인법칙을 적용하면$\displaystyle \frac s{\sin\alpha}=\frac r{\sin\beta}=\frac1{\sin\frac{5\pi}6}=2$이므로 $\displaystyle s=2\sin\alpha$, $\displaystyle r=2\sin\beta$이다.그러므로 구하는 길이 중 $\displaystyle C_1$에 속하는 부분의 길이는 $\displaystyle 2(\pi-\alpha)r=4(\pi-\alpha)\sin\beta$이고, $\displaystyle C_2$에 속하는 부분의 길이는 $\displaystyle 2(\pi-\beta)s=4(\pi-\beta)\sin\alpha$이다. 따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle f(\alpha)=4(\pi-\alpha)\sin\beta+4(\pi-\beta)\sin\alpha=4(\pi-\alpha)\sin(\frac\pi6-\alpha)+4(\frac{5\pi}6+\alpha)\sin\alpha$

(3-3) $\displaystyle f(\alpha)=4(\pi-\alpha)\sin(\frac\pi6-\alpha)+4(\frac{5\pi}6+\alpha)\sin\alpha=g(\frac\pi6-\alpha)+g(\alpha)$이다. 따라서, $\displaystyle f\prime(\alpha)=-g\prime(\frac\pi6-\alpha)+g\prime(\alpha)$이다.

그런데 (3-2)로부터 $\displaystyle g\prime(\alpha)$는 증가함수이다. 따라서 $\displaystyle 0<x<\frac\pi6$, $\displaystyle 0<y<\frac\pi6$일 때 $\displaystyle g\prime(x)=g\prime(y)$이면 $\displaystyle x=y$이다.

그러므로, $\displaystyle f\prime(\alpha)=g\prime(\alpha)-g\prime(\frac\pi6-\alpha)=0$이기 위해서는 $\displaystyle \alpha=\frac\pi6-\alpha$이어야 한다. 즉, $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi6$에서 $\displaystyle f\prime(\alpha)=0$인 곳은 $\displaystyle \alpha=\frac\pi{12}$뿐이다.

또한 (3-2)로부터 $\displaystyle g\prime\prime(\alpha)>0$이므로, $\displaystyle f\prime\prime(\frac\pi{12})=g\prime\prime(\frac\pi{12})+g\prime\prime(\frac\pi{12})>0$이고, $\displaystyle \alpha=\frac\pi{12}$에서 $\displaystyle f(\alpha)$는 최솟값을 갖는다.