자연계열 B 2번

(2-1) $\displaystyle f(x)=\begin{cases}(1+x^3)^{-2}&(x\ge0)\\(1-x^3)^{-2}&(x<0)\end{cases}$이므로 $\displaystyle f\prime(x)=\begin{cases}-6x^2(1+x^3)^{-3}&(x>0)\\6x^2(1-x^3)^{-3}&(x<0)\end{cases}$이다. 한편$\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}x=\lim_{x\to0+}\frac1x\{\frac1{(1+x^3)^2}-1\}=\lim_{x\to0+}\frac1x\{\frac{-2x^3-x^6}{(1+x^3)^2}\}=0$$\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(x)-f(0)}x=\lim_{x\to0-}\frac1x\{\frac1{(1-x^3)^2}-1\}=\lim_{x\to0-}\frac1x\{\frac{2x^3-x^6}{(1-x^3)^2}\}=0$이므로 $\displaystyle f\prime(0)=0$이다. 따라서 $\displaystyle f\prime(x)<0$을 만족시키는 $\displaystyle x$의 값의 범위는 $\displaystyle x>0$이다.

한편 $\displaystyle x>0$이면$\displaystyle f\prime\prime(x)=-12x(1+x^3)^{-3}+54x^4(1+x^3)^{-4}=6x(1+x^3)^{-4}(-2+7x^3)$이고, $\displaystyle x<0$이면$\displaystyle f\prime\prime(x)=12x(1-x^3)^{-3}+54x^4(1-x^3)^{-4}=6x(1-x^3)^{-4}(2+7x^3)$이며,$\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f\prime(x)-f\prime(0)}x=\lim_{x\to0+}(-\frac1x)\times6x^2(1+x^3)^{-3}=0$$\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f\prime(x)-f\prime(0)}x=\lim_{x\to0-}\frac1x\times6x^2(1-x^3)^{-3}=0$이므로 $\displaystyle f\prime\prime(0)=0$이다. 따라서$\displaystyle f\prime\prime(x)<0\Leftrightarrow0<x^3<\frac27$ 또는 $\displaystyle -\frac27<x^3<0$이다. 그러므로 $\displaystyle f\prime\prime(x)<0$을 만족시키는 $\displaystyle x$의 값의 범위는 $\displaystyle -\sqrt[3]{\frac27}<x<0$ 또는 $\displaystyle 0<x<\sqrt[3]{\frac27}$이다.

즉, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x<0$일 때 증가하고, $\displaystyle x>0$일 때 감소하며, 구간 $\displaystyle (-\sqrt[3]{\frac27},\sqrt[3]{\frac27})$에서 위로 볼록하다. 또한 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$, $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0$이므로 그래프의 점근선은 $\displaystyle x$축이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 $\displaystyle g\prime(x)$는 $\displaystyle x<-2$일 때 양수이고, $\displaystyle x>-2$일 때 음수이다. 즉 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x<-2$일 때 증가하고 $\displaystyle x>-2$일 때 감소하므로, 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-2$일 때 최댓값을 가진다. 즉 $\displaystyle a=-2$이다.

(2-3) $\displaystyle f(t)=f(-t)$임을 이용하면$\displaystyle g(a)=g(-2)=\int_{-2}^2f(t)dt=2\int_{-2}^0f(t)dt=-2\int_0^{-2}f(t)dt$이다. 또한

$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^{-2}\frac{t^3}{(1-t^3)^2}dt=\int_0^{-2}\frac13t\times\frac{3t^2}{(1-t^3)^2}dt=\Biggl[\frac13t(1-t^3)^{-1}\Biggr]_0^{-2}-\frac13\int_0^{-2}\frac1{1-t^3}dt\\&=-\frac2{27}-\frac13\int_0^{-2}\frac1{(1-t^3)^2}dt+\frac13\int_0^{-2}\frac{t^3}{(1-t^3)^2}dt=-\frac2{27}-\frac13\int_0^{-2}f(t)dt+\frac13S\\&=-\frac2{27}+\frac16g(a)+\frac13S\end{aligned}$이므로 $\displaystyle g(a)-4S=\frac49$이다.