자연계열 A 1번

(1-1) $\displaystyle f(x)=x(x-a)(x-b)$라 하면$\displaystyle 0=\int_0^af(x)dx=\int_0^a\{x^3-(a+b)x^2+abx\}dx=\frac{a^4}4-\frac{(a+b)a^3}3+ab\frac{a^2}2=\frac{a^3}{12}(-a+2b)$이므로 $\displaystyle b=\frac a2$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x(x-a)(x-\frac a2)$

이고 $\displaystyle f\prime(x)=3x^2-3ax+\frac{a^2}2$이다.

$\displaystyle f\prime(x)=0$을 풀면 $\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt3}6a$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$의 증감을 조사하면 $\displaystyle x=\frac{3-\sqrt3}6a$에서

극댓값 $\displaystyle f(\frac{3-\sqrt3}6a)=\frac{\sqrt3}{36}a^3$을 가진다.

(1-2) $\displaystyle y=x-t$로 치환하면$\displaystyle g(x)=\int_0^xtf(x-t)dt=\int_x^0(x-y)f(y)(-dy)=\int_0^x(x-y)f(y)dy=x\int_0^xf(y)dy-\int_0^xyf(y)dy$이다.

따라서 $\displaystyle g\prime(x)=\int_0^xf(y)dy$이고 $\displaystyle g\prime\prime(x)=f(x)$이다.

그러므로 $\displaystyle g\prime\prime(-a)=-3a^3$이다.

(1-3) $\displaystyle f(x)=x(x-\frac a2)(x-a)$이므로 $\displaystyle h(x)=x(x-\frac a2)(x-a)+x$이다. 또한$\displaystyle \begin{aligned}h(a-x)&=(a-x)(a-x-\frac a2)(a-x-a)+a-x=(a-x)(\frac a2-x)(-x)+a-x\\&=-x(x-\frac a2)(x-a)-x+a=-h(x)+a\end{aligned}$이다.

따라서 기하평균 산술평균 부등식에 의해$\displaystyle e^{h(x)}+e^{h(a-x)}=e^{h(x)}+e^{a-h(x)}\ge2\sqrt{e^{h(x)}e^{a-h(x)}}=2\sqrt{e^a}\;(=2e^{a/2})$

이다. $\displaystyle h(\frac a2)=\frac a2$이므로 $\displaystyle x=\frac a2$일 때, 위 부등식의 등호가 성립한다.따라서 $\displaystyle p(x)=e^{h(x)}+e^{h(a-x)}$의 최솟값은 $\displaystyle 2\sqrt{e^a}\;(=2e^{a/2})$이다.