자연계열 B 2번

(2-1) $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c$라 하면 $\displaystyle f(0)=c$이고, 조건 (가)에 의해 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle -x^3+ax^2-bx=-x^3-ax^2-bx$가 성립하므로 $\displaystyle a=0$이다. 즉 $\displaystyle f(x)=x^3+bx+c$임을 알 수 있고, $\displaystyle f(x)-c=x^3+bx$의 그래프는 원점을 중심으로 대칭이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 점 $\displaystyle (0,c)$를 중심으로 대칭이다.

따라서 $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)dx=2c$이다.

(2-2) $\displaystyle f(x)=x^3+bx+c$에서 $\displaystyle c=f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=x^3+bx$이고, 조건 (나)로부터 $\displaystyle -1\le f\prime(0)<1$, 즉 $\displaystyle -1\le b<1$이어야 한다. 왜냐하면 $\displaystyle f\prime(0)<-1$이면 방정식 $\displaystyle f(x)=|x|$는 $\displaystyle 3$개의 서로 다른 실근을 갖게 되며, $\displaystyle f\prime(0)\ge1$이면 단 하나의 실근을 갖게 된다. (아래 그림)

그러므로 방정식 $\displaystyle f(x)=|x|$의 한 실근은 $\displaystyle 0$이며 나머지 한 실근 $\displaystyle k$는 양수이다.곡선의 식 $\displaystyle y=x^3+bx$와 직선의 식 $\displaystyle y=x\;(x>0)$을 연립하여 풀면$\displaystyle x^3+(b-1)x=x(x^2+b-1)=0$에서 $\displaystyle k=\sqrt{1-b}\;(-1\le b<1)$이다.

따라서 $\displaystyle 0<k\le\sqrt2$이다.

이 경우 $\displaystyle f(\beta)=\beta$이고 $\displaystyle f\prime(\beta)=1$이므로 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \beta^3+b\beta+c=\beta\qquad\cdots\cdots(1)$$\displaystyle 3\beta^2+b=1\qquad\cdots\cdots(2)$그러므로 식 (2)로부터 $\displaystyle b=1-3\beta^2$이고 식 (1)로부터 $\displaystyle c=\beta-\beta^3-b\beta=2\beta^3$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=x^3+(1-3\beta^2)x+2\beta^3$이고,

그래프의 대칭성을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\beta}^{\beta}\{f(x)-|x|\}dx&=\int_{-\beta}^{\beta}f(x)dx-\int_{-\beta}^{\beta}|x|dx=2\beta f(0)-\beta^2\\&=4\beta^4-\beta^2=\beta^2(4\beta^2-1)=0\end{aligned}$이고 $\displaystyle \beta>0$이므로 $\displaystyle \beta=\frac12$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^3+\frac14x+\frac14$이다.

이 경우 그래프에 의해 $\displaystyle x\le\beta$일 때, $\displaystyle f(x)\le|x|$이므로 $\displaystyle \int_{-\beta}^{\beta}\{f(x)-|x|\}dx<0$이고 $\displaystyle f(x)$는 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

따라서 (i), (ii)의 결과를 종합하면 $\displaystyle \int_{-\beta}^{\beta}\{f(x)-|x|\}dx=0$일 때 $\displaystyle f(x)=x^3+\frac14x+\frac14$이다.