자연계열 A 2번

(2-1) $\displaystyle S(t)$는 아래 그림으로부터 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=(\text{삼각형 OAC의 넓이})+\int_{f(t)}^{f(t+1)}\frac1x dx-(\text{삼각형 OBD의 넓이})\\&=\frac12+\ln\frac{f(t+1)}{f(t)}-\frac12=\ln\frac{f(t+1)}{f(t)}\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle f(t)=e^{t^3}$이면, $\displaystyle S(t)=\ln\frac{e^{(t+1)^3}}{e^{t^3}}$이다. 따라서 $\displaystyle S(2)=\ln\frac{e^{27}}{e^8}=19$이다.

(2-2) $\displaystyle S(t)=\ln\frac{f(t+1)}{f(t)}=2$로부터 $\displaystyle \frac{f(t+1)}{f(t)}=e^2$을 얻는다.따라서 $\displaystyle \{\frac1{f(n)}\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac1{f(1)}=\frac1{2e^2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac1{e^2}$인 등비수열이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{f(n)}=\frac{\frac1{2e^2}}{1-\frac1{e^2}}=\frac1{2(e^2-1)}$이다.

(2-3) $\displaystyle S(t)=\ln\frac{f(t+1)}{f(t)}$이 상수함수이므로, $\displaystyle 0=S\prime(t)=\frac{f\prime(t+1)}{f(t+1)}-\frac{f\prime(t)}{f(t)}$이다.

하지만 $\displaystyle g\prime(t)=\frac{f\prime\prime(t)f(t)-\{f\prime(t)\}^2}{\{f(t)\}^2}\ge0$이므로 모순이다.

따라서 $\displaystyle g(t)=\frac{f\prime(t)}{f(t)}$가 상수함수이므로 조건 $\displaystyle f(0)=2,\;f\prime(0)=3$으로부터 $\displaystyle \frac{f\prime(t)}{f(t)}=\frac32$이다.

이것을 적분하면 $\displaystyle \ln f(t)=\frac{3t}2+C$이고 $\displaystyle f(t)=e^{\frac{3t}2}e^C$이다. 조건으로부터 $\displaystyle 2=f(0)=e^C$이므로 $\displaystyle f(t)=2e^{\frac{3t}2}$가 되고 $\displaystyle f(\frac12)=2e^{\frac34}$이다.