자연계열 B 3번

(3-1) $\displaystyle F(-x)=\int_{-1}^{-x}f(t)dt=\int_{-1}^{-x}f(-t)dt=\int_x^1f(t)dt$이므로

$\displaystyle F(x)+F(-x)=\int_{-1}^xf(t)dt+\int_x^1f(t)dt=\int_{-1}^1f(t)dt=C$이다.

(3-2) 함수 $\displaystyle g(x)$의 증감을 살펴보기 위하여 도함수 $\displaystyle g\prime(x)$의 부호 변화를 살펴보면,$\displaystyle g\prime(x)=af\prime(ax)F(x)+f(ax)f(x)=-2a^2xe^{-a^2x^2}F(x)+e^{-(a^2+1)x^2}=e^{-a^2x^2}\{e^{-x^2}-2a^2xF(x)\}$이다. 따라서 $\displaystyle g\prime(x)$의 부호는 함수 $\displaystyle h(x)=e^{-x^2}-2a^2xF(x)$의 부호와 같다.

만일 $\displaystyle -1<x\le0$이면 $\displaystyle e^{-x^2}-2a^2xF(x)>0$이므로 $\displaystyle g\prime(x)>0$이다. 한편$\displaystyle h\prime(x)=-2xe^{-x^2}-2a^2F(x)-2a^2xe^{-x^2}$은 $\displaystyle x>0$일 때 항상 음수이므로 함수 $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소함수이다.

만일 $\displaystyle h(1)\ge0$이라면 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle h(x)>0$이므로 $\displaystyle g\prime(x)>0$이다.그리고 $\displaystyle h(1)<0$이면 함수 $\displaystyle h(x)$의 값이 음수인 구간이 존재하므로, 함수 $\displaystyle g(x)$가 감소함수인 구간이 구간 $\displaystyle (-1,1)$에 존재한다.이를 종합하면 함수 $\displaystyle g(x)$가 구간 $\displaystyle (-1,1)$에서 증가함수일 필요충분조건은 $\displaystyle h(1)\ge0$이다.즉 함수 $\displaystyle g(x)$가 구간 $\displaystyle (-1,1)$에서 증가함수이기 위한 필요충분조건은$\displaystyle e^{-1}\ge2a^2F(1)=2a^2C$

이므로, $\displaystyle a$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{e^{-\frac12}}{\sqrt{2C}}=\frac1{\sqrt{2eC}}$이다.

(3-3) 조건 (가) 및 (3-1)에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-1}^1f(ax)F(x)dx&=\int_{-1}^1f(ax)\{C-F(-x)\}dx=C\int_{-1}^1f(ax)dx-\int_{-1}^1f(ax)F(-x)dx\\&=C\int_{-1}^1f(ax)dx-\int_{-1}^1f(-ax)F(x)dx=C\int_{-1}^1f(ax)dx-\int_{-1}^1f(ax)F(x)dx\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \int_{-1}^1f(ax)F(x)dx=\frac C2\int_{-1}^1f(ax)dx=\frac C{2a}\int_{-a}^af(x)dx=\frac Ca\int_0^af(x)dx$이다.

한편 대칭성에 의해 $\displaystyle \int_{-1}^0f(x)dx=\frac C2$이고$\displaystyle \int_0^af(x)dx=F(a)-\int_{-1}^0f(x)dx=\frac23C-\frac C2=\frac C6$이므로 $\displaystyle \int_{-1}^1f(ax)F(x)dx=\frac{C^2}{6a}$이다.

따라서 $\displaystyle a\int_{-1}^1g(x)dx=\frac{C^2}6$이다.