자연계열 B 1번

(1-1) 조건 (나)로부터 $\displaystyle f(x)=x(x-1)(x^2+ax+b)$으로 쓸 수 있고, 조건 (가)로부터 $\displaystyle a=b$를 얻는다. 즉 $\displaystyle f(x)=x(x-1)(x^2+ax+a)$

이고, 또한 조건 (나)로부터 방정식 $\displaystyle x^2+ax+a=0$은 서로 다른 실근을 가지지 않는다. 따라서 $\displaystyle a^2-4a\le0$이므로 $\displaystyle 0\le a\le4$를 얻는다.$\displaystyle a=0$인 경우 $\displaystyle |f(x)|$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle 0<a\le4$이다.

한편 $\displaystyle f\prime(0)=-a$이므로 $\displaystyle -4\le f\prime(0)<0$이다.

(1-2) $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{e^{|f(x)|}-1}x=\lim_{x\to0+}\frac{e^{-f(x)}-1}x=\{e^{-f(x)}\}\prime(0)=-f\prime(0)=3$

이고$\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{e^{|f(x)|}-1}x=\lim_{x\to0-}\frac{e^{f(x)}-1}x=\{e^{f(x)}\}\prime(0)=f\prime(0)=-3$이므로 $\displaystyle e^{|f(x)|}$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하지 않다.

(1-3) 조건으로부터 $\displaystyle x(x-1)(x^2+ax+a)=mx+n+(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$

을 얻고 이로부터$\displaystyle -2(\alpha+\beta)=a-1,\;(\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta=0,\;m-2(\alpha+\beta)\alpha\beta=-a$를 얻는다. 따라서$\displaystyle m=2(\alpha+\beta)\alpha\beta-a=(1-a)(-\frac12)(\frac{1-a}2)^2-a=\frac{(a-1)^3}8-a$를 얻는다.

또한 $\displaystyle \frac{dm}{da}=\frac{3(a-1)^2}8-1=0$일 때, $\displaystyle a=1\pm\frac{2\sqrt6}3$이고 $\displaystyle 0<a\le4$이므로 $\displaystyle m$의 최솟값은 $\displaystyle a=1+\frac{2\sqrt6}3$일 때이다. 따라서 $\displaystyle f\prime(0)=-a=-1-\frac{2\sqrt6}3$이다.