자연계열 A 3번

(3-1) $\displaystyle \mathrm A$와 $\displaystyle \mathrm B$의 좌표는 각각 $\displaystyle \mathrm A(2\sqrt2\cos(\theta+\frac\pi4),2\sqrt2\sin(\theta+\frac\pi4))$, $\displaystyle \mathrm B(2\cos\theta,2\sin\theta)$이다.$\displaystyle \mathrm D$가 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$ 위에 있으려면 $\displaystyle 2\sin\theta\ge1$이어야 하므로 $\displaystyle \frac\pi6\le\theta<\frac\pi2$이다.

(3-2) $\displaystyle \frac\pi6\le\theta<\frac\pi2$인 경우 $\displaystyle \mathrm C$의 좌표는 $\displaystyle (\cot(\theta+\frac\pi4),1)$이며, $\displaystyle \mathrm D$의 좌표는 $\displaystyle (\cot\theta,1)$이다.따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 길이는 $\displaystyle \cot\theta-\cot(\theta+\frac\pi4)$이다. $\displaystyle t=\tan\theta$로 치환하면 $\displaystyle \frac\pi6\le\theta<\frac\pi2$이므로, $\displaystyle t\ge\frac1{\sqrt3}$이다. 그런데$\displaystyle \cot\theta-\cot(\theta+\frac\pi4)=\frac1{\tan\theta}-\frac1{\tan(\theta+\frac\pi4)}=\frac1{\tan\theta}-\frac1{\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}}$이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 길이 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(t)=\frac1t-\frac{1-t}{1+t}$이다. 또한 $\displaystyle t\ge\frac1{\sqrt3}$에서 $\displaystyle f\prime(t)=\frac{t^2-2t-1}{t^2(1+t)^2}=0$을 풀어 $\displaystyle t=1+\sqrt2$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \frac1{\sqrt3}\le t<1+\sqrt2$에서 $\displaystyle f\prime(t)<0$이고, $\displaystyle t>1+\sqrt2$에서 $\displaystyle f\prime(t)>0$이다.$\displaystyle f(\frac1{\sqrt3})=2\sqrt3-2>1$, $\displaystyle f(1+\sqrt2)=2\sqrt2-2$이고, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}f(t)=1$이므로 $\displaystyle t\ge\frac1{\sqrt3}$에서 $\displaystyle f(t)$의 최솟값은 $\displaystyle f(1+\sqrt2)=2\sqrt2-2$이고, 최댓값은 $\displaystyle f(\frac1{\sqrt3})=2\sqrt3-2$이다.

$\displaystyle \theta=0$일 때, $\displaystyle b=\frac32$이고, $\displaystyle \theta=\frac\pi6$일 때, $\displaystyle b=\sqrt3-1$이므로 $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi6$인 경우 $\displaystyle \sqrt3-1\le b\le\frac32$이다. 또한 $\displaystyle \frac\pi6\le\theta<\frac\pi2$일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 길이의 최솟값은 $\displaystyle 2\sqrt2-2$이고, 최댓값은 $\displaystyle 2\sqrt3-2$이므로 이 경우 $\displaystyle \sqrt2-1\le b\le\sqrt3-1$이다. 따라서 $\displaystyle 0\le\theta<\frac\pi2$일 때, $\displaystyle \sqrt2-1\le b\le\frac32$이다.

$\displaystyle 1-(\sqrt2-1)>\frac32-1$이므로 $\displaystyle \sqrt2-1\le b\le\frac32$일 때, $\displaystyle g(b)$의 최댓값은 $\displaystyle g(1)=1$, 최솟값은 $\displaystyle g(\sqrt2-1)=(\sqrt2-1)(3-\sqrt2)=4\sqrt2-5$이다.