자연계열 1번

[1.1] 무리수 $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$의 정의로부터$\displaystyle \lim_{m\to\infty}A\left(1+\frac rm\right)^{mt}=\lim_{m\to\infty}A\left(1+\frac1{m/r}\right)^{\frac mr\,rt}$이고, $\displaystyle m\to\infty$일 때, $\displaystyle \frac mr\to\infty$이므로 구하는 원리합계는 $\displaystyle Ae^{rt}$이다.

[1.2] $\displaystyle A$원을 연속복리 연이율 $\displaystyle 10\%$로 3년간 투자했을 때와 연복리 연이율 $\displaystyle r$로 3년간 투자했을 때의 원리합계가 같아야한다. 따라서$\displaystyle Ae^{0.3}=A(1+r)^3$,즉 $\displaystyle 1+r=e^{0.1}$이다. $\displaystyle \ln(1+r)=0.1$이고 제시문 (나)에서 $\displaystyle \ln1.11=0.1$이므로 $\displaystyle r=0.11$이다. 즉, 연복리 연이율은 $\displaystyle 11\%$이다.

[1.3] 우선 각 상품의 원리합계를 구하자. 상품 S의 원리합계는$\displaystyle 100(e^{0.9}+e^{0.8}+\cdots+e^{0.1})=100\frac{e-e^{0.1}}{e^{0.1}-1}$만 원이다. 상품 T의 경우 수수료 차감 전 원리합계는$\displaystyle 100(e^{1.8}+e^{1.6}+\cdots+e^{0.2})=100\frac{e^2-e^{0.2}}{e^{0.2}-1}$만 원이다. 만기 시 수수료는 이익금의 50%이므로$\displaystyle \frac12\left(100\left(\frac{e^2-e^{0.2}}{e^{0.2}-1}\right)-900\right)$만 원이다. 따라서 수수료 차감 후 상품 T의 만기 시 금액은$\displaystyle 50\frac{e^2-e^{0.2}}{e^{0.2}-1}+450$만 원이다. 이제 대소 관계를 비교하기 위하여 상품 S와 T의 만기 시 금액의 차를 구하면$\displaystyle 100\frac{e-e^{0.1}}{e^{0.1}-1}-50\frac{e^2-e^{0.2}}{e^{0.2}-1}-450=50\frac{2(e-e^{0.1})(e^{0.1}+1)-e^2-8e^{0.2}+9}{e^{0.2}-1}$이다. 분모는 항상 양수이므로 분자의 부호만 살펴보면 된다. 제시문에 주어진 자연로그 값을 이용하면 위 식의 분자는$\displaystyle 9+2e^{1.1}+2e-10e^{0.2}-2e^{0.1}-e^2=-1.37<0$이다. 따라서 상품 T에 가입하는 것이 더 유리하다.