자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle \vec n=(0,0,1)$이고, $\displaystyle \vec u$와 $\displaystyle \vec n$이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec n}{|\vec u|\,|\vec n|}=\frac{(0,2\sqrt3,-2)\cdot(0,0,1)}{\sqrt{12+4}}=-\frac12$이므로 $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}3$이다.

[3.2] $\displaystyle l_2$는 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle l_1\times|\cos\theta|=\frac12l_1$따라서 $\displaystyle A_2$의 넓이는$\displaystyle l_2\times w=\frac12l_1w$이고, $\displaystyle |\vec u|=4$이므로 슬릿 $\displaystyle A_1$을 통과한 빛의 양은$\displaystyle |\vec u|\times\frac12l_1w=2l_1w$이다.

[3.3] $\displaystyle k=1,2,\ldots,n$에 대하여 슬릿 $\displaystyle B_k$를 통과하는 빛의 양은$\displaystyle 2\sin^3x_k\times\frac\pi n$이므로 슬릿 $\displaystyle B_1,\ldots,B_n$을 통과하는 빛의 양의 합은$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n2\sin^3x_k\times\frac\pi n$이다.

[3.4] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n$은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}T_n&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n2\sin^3x_k\times\frac\pi n\\&=2\int_0^\pi\sin^3x\,dx\\&=2\int_0^\pi(1-\cos^2x)\sin x\,dx\\&=2\Biggl[-\cos x+\frac13\cos^3x\Biggr]_0^\pi=\frac83\end{aligned}$