서울과학기술대 2016학년도 수시 오전 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.(33점)

(가) 공간에서 빛은 벡터 $\displaystyle \vec u=(0,\,2\sqrt3,\,-2)$ 의 방향으로 직진하고 있으며, 밝기는 $\displaystyle \vec u$ 의 크기이다. 다음 그림과 같이 $\displaystyle xy$ 평면에 차단막 $\displaystyle S_1$ 이 있고, $\displaystyle S_1$ 의 밑에 $\displaystyle \vec u$ 와 수직인 스크린 $\displaystyle S_2$ 가 있다. $\displaystyle S_1$ 에 $\displaystyle y$ 축과 평행한 슬릿(틈) $\displaystyle A_1$ 이 있다. $\displaystyle A_1$ 은 폭이 $\displaystyle w$ 이고 길이가 $\displaystyle l_1$ 인 직사각형이다. $\displaystyle A_1$ 을 통과한 빛 때문에 $\displaystyle S_2$ 에 폭이 $\displaystyle w$ 이고 길이가 $\displaystyle l_2$ 인 밝은 직사각형 $\displaystyle A_2$ 가 생긴다. (단, 빛의 회절, 간섭 효과, 차단막의 두께는 무시한다.)

차단막 S₁의 슬릿 A₁을 통과한 빛이 스크린 S₂에 만드는 직사각형 A₂

(나) 임의의 평면도형 $\displaystyle R$ 에 빛이 수직으로 입사할 때 $\displaystyle R$ 에 도달하는 빛의 양은 도형 $\displaystyle R$ 의 넓이와 빛의 밝기를 곱하여 구할 수 있다.

[3.1] $\displaystyle S_1$ 의 단위법선벡터 $\displaystyle \vec n$ 을 구하고, $\displaystyle \vec u$ 와 $\displaystyle \vec n$ 이 이루는 각의 크기를 구하시오.(8점)

[3.2] 슬릿 $\displaystyle A_1$ 을 통과하는 빛의 양을 구하시오.(8점)

[3.3] $\displaystyle x$ 축의 구간 $\displaystyle [0,\pi]$ 를 $\displaystyle n$ 등분한 점을 $\displaystyle 0=x_0<x_1<\cdots<x_n=\pi$ 라 하자. $\displaystyle k=1,2,\ldots,n$ 에 대하여 소구간 $\displaystyle [x_{k-1},x_k]$ 에서 폭이 $\displaystyle x_k-x_{k-1}=\frac\pi n$ 이고 길이가 $\displaystyle \sin^3x_k$ 인 직사각형 슬릿 $\displaystyle B_k$ 를 $\displaystyle S_1$ 에 만든다. 슬릿 $\displaystyle B_1,\ldots,B_n$ 을 통과하는 빛의 양의 합 $\displaystyle T_n$ 을 계산하는 식을 구하시오.(5점)

[3.4] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n$ 의 값을 구하시오.(12점)

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[3.1] $\displaystyle \vec n=(0,0,1)$ 이고, $\displaystyle \vec u$ 와 $\displaystyle \vec n$ 이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ 라 하면 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec n}{|\vec u|\,|\vec n|}=\frac{(0,2\sqrt3,-2)\cdot(0,0,1)}{\sqrt{12+4}}=-\frac12$ 이므로 $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}3$ 이다.

[3.3] $\displaystyle k=1,2,\ldots,n$ 에 대하여 슬릿 $\displaystyle B_k$ 를 통과하는 빛의 양은 $\displaystyle 2\sin^3x_k\times\frac\pi n$ 이므로 슬릿 $\displaystyle B_1,\ldots,B_n$ 을 통과하는 빛의 양의 합은 $\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n2\sin^3x_k\times\frac\pi n$ 이다.

[3.4] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n$ 은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}T_n&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n2\sin^3x_k\times\frac\pi n\\&=2\int_0^\pi\sin^3x\,dx\\&=2\int_0^\pi(1-\cos^2x)\sin x\,dx\\&=2\Biggl[-\cos x+\frac13\cos^3x\Biggr]_0^\pi=\frac83\end{aligned}$

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자연계열 3번

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