자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac ex$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(e)=0$이고, 증감표를 만들면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}x&0&\cdots&e&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&&-&0&+\\f(x)&&\text{감소}&0&\text{증가}\end{array}$

따라서 최솟값은 $\displaystyle f(e)=0$이다.

[2.2] $\displaystyle f(x)$의 최솟값이 $\displaystyle f(e)=0$이므로 $\displaystyle f(\pi)>0$이다. 즉$\displaystyle f(\pi)=\pi-e\ln\pi=\pi-\ln\pi^e>0$이므로$\displaystyle \pi>\ln\pi^e$이다. 따라서$\displaystyle e^\pi>\pi^e$이다.

[2.3] $\displaystyle g(x)=\ln a-a\frac{\ln x}x$, $\displaystyle x>0$라 하면$\displaystyle g^{\prime}(x)=a\frac{\ln x-1}{x^2}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(e)=0$이다. $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x>e$일 때 증가하고 $\displaystyle g(a)=0$이다. 그런데 $\displaystyle e<a<b$이므로$\displaystyle g(b)=\ln a-\frac ab\ln b>g(a)=0$이다. 즉,$\displaystyle b\ln a>a\ln b$이므로$\displaystyle a^b>b^a$이다.