자연계열 3번

[3.1] 포물선 운동에서 물체의 위치벡터의 각 성분을 주어진 식을 이용하여 찾는 것으로 $\displaystyle \vec a$의 $\displaystyle x$ 방향의 가속도는 $\displaystyle 0$이고 $\displaystyle y$ 방향의 가속도는 $\displaystyle -g$이므로$\displaystyle \vec r=\vec v_0t+\frac12\vec at^2$에 대입하여 구하면$\displaystyle x=v_0(\cos\alpha)t,\quad y=v_0(\sin\alpha)t-\frac12gt^2$이다.

[3.2] 문항 [3.1]에서 구한 식은 $\displaystyle t$를 매개변수로 하여 표현된 식이다. 이 식에서 $\displaystyle t$를 소거하여 포물선의 방정식 $\displaystyle y=f(x)$를 구하면$\displaystyle y=(\tan\alpha)x-\frac g{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2$이다.

[3.3] 경사각이 $\displaystyle \beta$인 막대는 직선 $\displaystyle y=(\tan\beta)x$로 표현할 수 있다. 이 직선과 [3.2]에서 구한 포물선이 만나는 점을 구하면 된다.$\displaystyle (\tan\alpha)x-\frac g{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2=(\tan\beta)x$에서 $\displaystyle x_0$를 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle x_0=(\tan\alpha-\tan\beta)\frac{2v_0^2\cos^2\alpha}g=\frac{2v_0^2}g\left(\sqrt3-\frac1{\sqrt3}\right)\left(\frac12\right)^2=\frac{v_0^2}{\sqrt3g}$이로부터 $\displaystyle y_0$를 구하면,$\displaystyle y_0=(\tan\beta)x_0=\frac1{\sqrt3}\frac{v_0^2}{\sqrt3g}=\frac{v_0^2}{3g}$이다. 즉 $\displaystyle P$의 위치는 $\displaystyle \left(\frac{v_0^2}{\sqrt3g},\frac{v_0^2}{3g}\right)$이다.

[3.4] 각 $\displaystyle \alpha$의 크기가 변할 때, $\displaystyle \overline{OP}$의 길이 $\displaystyle |\overline{OP}|$는$\displaystyle |\overline{OP}|=\frac{x_0}{\cos\beta}=(\tan\alpha-\tan\beta)\frac{2v_0^2\cos^2\alpha}{g\cos\beta}=\frac{2v_0^2\sin(\alpha-\beta)\cos\alpha}{g\cos^2\beta}$이다. $\displaystyle |\overline{OP}|$는 $\displaystyle \alpha$에 관한 함수이고 막대의 경사각 $\displaystyle \beta$가 $\displaystyle \frac\pi6$이므로$\displaystyle f(\alpha)=\frac{8v_0^2\sin\left(\alpha-\frac\pi6\right)\cos\alpha}{3g}$로 둘 수 있다. 최댓값을 구하기 위해서는 미분을 하여 $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=0$을 만족하는 $\displaystyle \alpha$를 찾으면 된다. $\displaystyle \alpha$에 대해서 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=\frac{8v_0^2}{3g}\left(\cos\left(\alpha-\frac\pi6\right)\cos\alpha-\sin\left(\alpha-\frac\pi6\right)\sin\alpha\right)=\frac{8v_0^2}{3g}\cos\left(2\alpha-\frac\pi6\right)$이다. 이로부터 증감표를 그리면

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}\alpha&\frac\pi6&\cdots&\frac\pi3&\cdots&\frac\pi2\\\hline f^{\prime}(\alpha)&&+&0&-&\\f(\alpha)&\text{0}&\text{증가}&\text{극대}&\text{감소}&\text{0}\end{array}$

이므로 $\displaystyle \alpha=\frac\pi3$일 때, $\displaystyle \overline{OP}$의 길이가 최대이다.