서울과학기술대 2016학년도 수시 오후 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.(33점)

(가) 원점에서 출발하여 등가속도로 운동하는 물체의 위치벡터는 $\displaystyle \vec r=\vec v_0t+\frac12\vec at^2$ 이다. 여기서 $\displaystyle \vec v_0$ 는 초기속도, $\displaystyle t$ 는 시간, $\displaystyle \vec a$ 는 가속도를 나타낸다.

(나) 초기속도 $\displaystyle \vec v_0$ 로 발사된 물체는 등가속도 $\displaystyle \vec a=(0,-g)$ 에 의해 포물선을 그리며 운동한다. 초기속도의 크기가 $\displaystyle v_0$ 이고 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 발사각이 $\displaystyle \alpha\;\left(0<\alpha<\frac\pi2\right)$ 일 때, $\displaystyle \vec v_0=(v_0\cos\alpha,\,v_0\sin\alpha)$ 이다.

(다) 다음 그림은 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 경사각이 $\displaystyle \beta$ 이고, 한쪽 끝이 원점인 막대에 포물선 운동을 하는 물체가 점 $\displaystyle P\,(x_0,y_0)$ 에서 부딪치는 것을 보여준다.

[3.1] 위 운동에서 물체의 위치벡터 $\displaystyle \vec r=(x,y)$ 의 성분 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 구하시오.(6점)

[3.2] 문항 [3.1]의 결과를 이용하여, 물체의 위치를 $\displaystyle y=f(x)$ 의 형태로 나타내시오.(6점)

[3.3] $\displaystyle \alpha$ 가 $\displaystyle \frac\pi3$ 이고 $\displaystyle \beta$ 가 $\displaystyle \frac\pi6$ 일 때, 점 $\displaystyle P\,(x_0,y_0)$ 를 구하시오.(9점)

[3.4] $\displaystyle \beta$ 가 $\displaystyle \frac\pi6$ 일 때 $\displaystyle \overline{OP}$ 의 길이가 최대가 되는 발사각 $\displaystyle \alpha$ 를 구하시오. (단, $\displaystyle \frac\pi6<\alpha<\frac\pi2$ ) (12점)

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[3.1] 포물선 운동에서 물체의 위치벡터의 각 성분을 주어진 식을 이용하여 찾는 것으로 $\displaystyle \vec a$ 의 $\displaystyle x$ 방향의 가속도는 $\displaystyle 0$ 이고 $\displaystyle y$ 방향의 가속도는 $\displaystyle -g$ 이므로 $\displaystyle \vec r=\vec v_0t+\frac12\vec at^2$ 에 대입하여 구하면 $\displaystyle x=v_0(\cos\alpha)t,\quad y=v_0(\sin\alpha)t-\frac12gt^2$ 이다.

[3.2] 문항 [3.1]에서 구한 식은 $\displaystyle t$ 를 매개변수로 하여 표현된 식이다. 이 식에서 $\displaystyle t$ 를 소거하여 포물선의 방정식 $\displaystyle y=f(x)$ 를 구하면 $\displaystyle y=(\tan\alpha)x-\frac g{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2$ 이다.

[3.3] 경사각이 $\displaystyle \beta$ 인 막대는 직선 $\displaystyle y=(\tan\beta)x$ 로 표현할 수 있다. 이 직선과 [3.2]에서 구한 포물선이 만나는 점을 구하면 된다. $\displaystyle (\tan\alpha)x-\frac g{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2=(\tan\beta)x$ 에서 $\displaystyle x_0$ 를 다음과 같이 구할 수 있다. $\displaystyle x_0=(\tan\alpha-\tan\beta)\frac{2v_0^2\cos^2\alpha}g=\frac{2v_0^2}g\left(\sqrt3-\frac1{\sqrt3}\right)\left(\frac12\right)^2=\frac{v_0^2}{\sqrt3g}$ 이로부터 $\displaystyle y_0$ 를 구하면, $\displaystyle y_0=(\tan\beta)x_0=\frac1{\sqrt3}\frac{v_0^2}{\sqrt3g}=\frac{v_0^2}{3g}$ 이다. 즉 $\displaystyle P$ 의 위치는 $\displaystyle \left(\frac{v_0^2}{\sqrt3g},\frac{v_0^2}{3g}\right)$ 이다.

[3.4] 각 $\displaystyle \alpha$ 의 크기가 변할 때, $\displaystyle \overline{OP}$ 의 길이 $\displaystyle |\overline{OP}|$ 는 $\displaystyle |\overline{OP}|=\frac{x_0}{\cos\beta}=(\tan\alpha-\tan\beta)\frac{2v_0^2\cos^2\alpha}{g\cos\beta}=\frac{2v_0^2\sin(\alpha-\beta)\cos\alpha}{g\cos^2\beta}$ 이다. $\displaystyle |\overline{OP}|$ 는 $\displaystyle \alpha$ 에 관한 함수이고 막대의 경사각 $\displaystyle \beta$ 가 $\displaystyle \frac\pi6$ 이므로 $\displaystyle f(\alpha)=\frac{8v_0^2\sin\left(\alpha-\frac\pi6\right)\cos\alpha}{3g}$ 로 둘 수 있다. 최댓값을 구하기 위해서는 미분을 하여 $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=0$ 을 만족하는 $\displaystyle \alpha$ 를 찾으면 된다. $\displaystyle \alpha$ 에 대해서 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=\frac{8v_0^2}{3g}\left(\cos\left(\alpha-\frac\pi6\right)\cos\alpha-\sin\left(\alpha-\frac\pi6\right)\sin\alpha\right)=\frac{8v_0^2}{3g}\cos\left(2\alpha-\frac\pi6\right)$ 이다. 이로부터 증감표를 그리면

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}\alpha&\frac\pi6&\cdots&\frac\pi3&\cdots&\frac\pi2\\\hline f^{\prime}(\alpha)&&+&0&-&\\f(\alpha)&\text{0}&\text{증가}&\text{극대}&\text{감소}&\text{0}\end{array}$

이므로 $\displaystyle \alpha=\frac\pi3$ 일 때, $\displaystyle \overline{OP}$ 의 길이가 최대이다.

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자연계열 3번

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