자연계열 2번

[2.1] 주어진 순서도는 1부터 $\displaystyle n$까지 자연수의 $\displaystyle k$제곱의 합을 구하는 과정을 나타낸다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}S_1(10)&=\sum_{m=1}^{10}m=55\\S_2(10)&=\sum_{m=1}^{10}m^2=\frac{10\times11\times21}6=385\end{aligned}$이다.

[2.2] 정적분의 정의에 의해서$\displaystyle T(k)=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^{k+1}}\sum_{m=1}^nm^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^n\left(\frac mn\right)^k\frac1n=\int_0^1x^k\,dx=\frac1{k+1}$이다. 따라서 주어진 방정식은$\displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=0$임을 알 수 있다. 한편,$\displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=(1+x)(1+x^2+x^4)$이다. 여기서 $\displaystyle 1+x^2+x^4$은 항상 양수이므로 $\displaystyle x=-1$이 유일한 실근이다.

[2.3] 분모와 분자를 $\displaystyle n^{10}$으로 나누면, 정적분의 정의에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(S_4(n))^2}{S_9(n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sum_{m=1}^n\left(\frac mn\right)^4\frac1n\right)^2}{\sum_{m=1}^n\left(\frac mn\right)^9\frac1n}=\frac{\left(\int_0^1x^4\,dx\right)^2}{\int_0^1x^9\,dx}=\frac{\frac1{25}}{\frac1{10}}=\frac25$이다.