자연계열 1번

[1.1] $\displaystyle \cos^4x+\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\cos^2x\sin^2x=1-2\cos^2x\sin^2x$이므로 $\displaystyle X=\sin^2x$라 하면 주어진 방정식은$\displaystyle 2-4(1-X)X+5X=5$즉,$\displaystyle 4X^2+X-3=(4X-3)(X+1)=0$이다. 그런데 $\displaystyle X+1>0$이므로 $\displaystyle X=\sin^2x=\frac34$, 즉, $\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt3}2$ 또는 $\displaystyle \sin x=-\frac{\sqrt3}2$이다. 따라서 해는 $\displaystyle \frac\pi3+(n-1)\pi$, $\displaystyle \frac{2\pi}3+(n-1)\pi$이다.

[1.2] $\displaystyle n=1,2,\ldots$에 대하여$\displaystyle \alpha_n=\frac{\pi/3+(n-1)\pi}n<\frac{x_n}n<\frac{2\pi/3+(n-1)\pi}n=\beta_n$Correction. 예시답안 [1.2]의 양 끝에 적힌 $\displaystyle \alpha_n,\beta_n$은 각각 $\displaystyle \alpha_n/n,\beta_n/n$의 오기이다. 가운데 분수식과 극한값 $\displaystyle \pi$는 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.이고$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\pi/3+(n-1)\pi}n=\pi,\quad\lim_{n\to\infty}\frac{2\pi/3+(n-1)\pi}n=\pi$이다. 따라서 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}n=\pi$이다.

[1.3] $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle x\in[\alpha_n,\beta_n]$인 점을 지나 $\displaystyle x$축에 수직으로 자른 단면은 높이는 $\displaystyle x$, 밑변의 길이는 $\displaystyle \sin^23x$인 직사각형이므로 넓이는$\displaystyle x\sin^23x$이다.

[1.4] 문항 [1.3]과 제시문 (다)로부터 $\displaystyle V_n$은 다음과 같은 정적분으로 나타낼 수 있다.$\displaystyle V_n=\int_{\alpha_n}^{\beta_n}x\sin^23x\,dx$그런데 제시문 (나)의 삼각함수의 반각의 공식에 의하여 $\displaystyle \sin^23x=\frac12(1-\cos6x)$이므로$\displaystyle V_n=\frac12\int_{\alpha_n}^{\beta_n}x(1-\cos6x)\,dx$이고, 제시문 (라)의 부분적분법을 적용하면$\displaystyle V_n=\frac12\Biggl[\frac12x^2-\frac16x\sin6x-\frac1{36}\cos6x\Biggr]_{\alpha_n}^{\beta_n}=\frac{\pi^2}{12}(2n-1)$이다. $\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$이므로$\displaystyle V_1+\cdots+V_n=\frac{\pi^2}{12}n^2$이다.