서울과학기술대 2016학년도 수시 오후 자연계열 1번 해설

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.(34점)

(가) 수열의 극한값의 대소 관계두 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ , $\displaystyle \{b_n\}$ 이 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ , $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ 라 하자. 수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n\leq c_n\leq b_n$ 을 만족하고 $\displaystyle \alpha=\beta$ 이면, 수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 은 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ 이다.

(나) 반각의 공식 $\displaystyle \sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}2,\quad\cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}2$

(다) 입체의 부피구간 $\displaystyle [a,b]$ 의 임의의 점에서 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $\displaystyle S(x)$ 인 입체의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V=\int_a^bS(x)\,dx$ (단, $\displaystyle S(x)$ 는 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속)

(라) 정적분의 부분적분법두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 와 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 연속일 때, $\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx$

[1.1] 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 다음 삼각방정식을 푸시오.(10점) $\displaystyle 2\cos^4x+2\sin^4x+5\sin^2x=5,\quad(n-1)\pi\leq x\leq n\pi$

[1.2] 문항 [1.1]의 두 해를 각각 $\displaystyle \alpha_n$ , $\displaystyle \beta_n$ ( $\displaystyle \alpha_n<\beta_n$ )이라 하자. 수열 $\displaystyle \{x_n\}$ 이 $\displaystyle \alpha_n<x_n<\beta_n$ 을 만족할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}n$ 의 값을 구하시오.(5점)

[1.3] 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, $\displaystyle \alpha_n\leq x\leq\beta_n$ 에서 $\displaystyle x$ 축과 곡선 $\displaystyle y=\sin^23x$ 으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 직각기둥이 있다. $\displaystyle y$ 축을 포함하고 $\displaystyle xy$ 평면과 $\displaystyle 45^\circ$ 를 이루는 평면으로 이 기둥을 잘랐을 때 생기는 입체도형을 $\displaystyle A_n$ 이라 하자. $\displaystyle x$ 축에 수직으로 $\displaystyle A_n$ 을 자른 단면의 넓이를 $\displaystyle x$ 에 관한 식으로 나타내시오.(5점)

[1.4] 문항 [1.3]의 입체도형 $\displaystyle A_n$ 의 부피를 $\displaystyle V_n$ 이라할 때, $\displaystyle V_1+\cdots+V_n$ 의 값을 구하시오.(14점)

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[1.1] $\displaystyle \cos^4x+\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\cos^2x\sin^2x=1-2\cos^2x\sin^2x$ 이므로 $\displaystyle X=\sin^2x$ 라 하면 주어진 방정식은 $\displaystyle 2-4(1-X)X+5X=5$ 즉, $\displaystyle 4X^2+X-3=(4X-3)(X+1)=0$ 이다. 그런데 $\displaystyle X+1>0$ 이므로 $\displaystyle X=\sin^2x=\frac34$ , 즉, $\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt3}2$ 또는 $\displaystyle \sin x=-\frac{\sqrt3}2$ 이다. 따라서 해는 $\displaystyle \frac\pi3+(n-1)\pi$ , $\displaystyle \frac{2\pi}3+(n-1)\pi$ 이다.

[1.2] $\displaystyle n=1,2,\ldots$ 에 대하여 $\displaystyle \alpha_n=\frac{\pi/3+(n-1)\pi}n<\frac{x_n}n<\frac{2\pi/3+(n-1)\pi}n=\beta_n$ Correction. 예시답안 [1.2]의 양 끝에 적힌 $\displaystyle \alpha_n,\beta_n$ 은 각각 $\displaystyle \alpha_n/n,\beta_n/n$ 의 오기이다. 가운데 분수식과 극한값 $\displaystyle \pi$ 는 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\pi/3+(n-1)\pi}n=\pi,\quad\lim_{n\to\infty}\frac{2\pi/3+(n-1)\pi}n=\pi$ 이다. 따라서 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}n=\pi$ 이다.

[1.3] $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle x\in[\alpha_n,\beta_n]$ 인 점을 지나 $\displaystyle x$ 축에 수직으로 자른 단면은 높이는 $\displaystyle x$ , 밑변의 길이는 $\displaystyle \sin^23x$ 인 직사각형이므로 넓이는 $\displaystyle x\sin^23x$ 이다.

[1.4] 문항 [1.3]과 제시문 (다)로부터 $\displaystyle V_n$ 은 다음과 같은 정적분으로 나타낼 수 있다. $\displaystyle V_n=\int_{\alpha_n}^{\beta_n}x\sin^23x\,dx$ 그런데 제시문 (나)의 삼각함수의 반각의 공식에 의하여 $\displaystyle \sin^23x=\frac12(1-\cos6x)$ 이므로 $\displaystyle V_n=\frac12\int_{\alpha_n}^{\beta_n}x(1-\cos6x)\,dx$ 이고, 제시문 (라)의 부분적분법을 적용하면 $\displaystyle V_n=\frac12\Biggl[\frac12x^2-\frac16x\sin6x-\frac1{36}\cos6x\Biggr]_{\alpha_n}^{\beta_n}=\frac{\pi^2}{12}(2n-1)$ 이다. $\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$ 이므로 $\displaystyle V_1+\cdots+V_n=\frac{\pi^2}{12}n^2$ 이다.

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자연계열 1번

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