자연계열 1번

[1.1] 점 A와 점 P 사이에서 공의 이동거리는 곡선의 길이와 같다. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}2$이므로, 이동거리 $\displaystyle d$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}d&=\int_0^{\ln7}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx=\int_0^{\ln7}\sqrt{1+\left(\frac{e^{2x}-e^{-2x}}2\right)^2}\,dx=\int_0^{\ln7}\sqrt{\left(\frac{e^{2x}+e^{-2x}}2\right)^2}\,dx\\&=\int_0^{\ln7}\frac{e^{2x}+e^{-2x}}2\,dx=\frac14\Biggl[e^{2x}-e^{-2x}\Biggr]_0^{\ln7}=\frac{600}{49}\end{aligned}$

[1.2] 점 P를 지난 공은 레일의 왼편으로 $\displaystyle \frac{600}{49}\times\frac7{10}=\frac{60}7$만큼 위로 올라간다. 점 P에서 센서가 있는 점 C까지 공의 이동거리는 함수 $\displaystyle y$가 좌우대칭이므로 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 0$에서 $\displaystyle \ln5$까지의 곡선 길이와 같다. 이를 계산하면$\displaystyle \int_0^{\ln5}\frac{e^{2x}+e^{-2x}}2\,dx=\frac14\Biggl[e^{2x}-e^{-2x}\Biggr]_0^{\ln5}=\frac{156}{25}$이 된다. 이 두 개의 값을 비교하면 $\displaystyle \frac{60}7>\frac{156}{25}$이다. 따라서 공은 센서가 있는 곳보다 더 높은 곳까지 운동하므로 센서는 작동한다.

[1.3] 점 P와 점 B 사이의 곡선 길이를 구하면,$\displaystyle \int_0^{\ln3}\frac{e^{2x}+e^{-2x}}2\,dx=\frac14\Biggl[e^{2x}-e^{-2x}\Biggr]_0^{\ln3}=\frac{20}9$이다. 공의 이동거리 $\displaystyle \left(\frac7{10}\right)^nd$ ($\displaystyle n$은 자연수)가 $\displaystyle \frac{20}9$보다 크면 점 B에 있는 센서는 작동된다. 그러므로,$\displaystyle \left(\frac7{10}\right)^nd\geq\frac{20}9\quad\Rightarrow\quad\left(\frac7{10}\right)^n\geq\frac{20}9\times\frac{49}{600}=\frac{49}{270}$를 만족하는 $\displaystyle n$을 찾으면 된다. 여기서 양변에 로그를 취하면$\displaystyle n(\log7-\log10)\geq(\log49-\log270)$이다. 제시문에서 주어진 로그값을 대입하여 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle n(0.85-1)\geq(2\times0.85-3\times0.48-1)$즉, $\displaystyle 0.15n\leq0.74$이고 이를 만족하는 $\displaystyle n$값은 1, 2, 3, 4이다.이를 바탕으로 점 B에 있는 센서가 작동하는 경우를 구체적으로 기술하면- A에서 점 P를 향해 내려올 때 한번 (점 A와 점 P 사이의 이동 거리: $\displaystyle d$)- 왼편에서 점 P까지 내려온 뒤 다시 오른편으로 올라갈 때 한번 (이때 점 P에서 최고점까지 이동 거리: $\displaystyle (7/10)^2d$)- 다시 점 P까지 내려올 때 한번 (이때 점 P까지 이동 거리: $\displaystyle (7/10)^2d$)- 왼편에서 내려와 점 P까지 내려온 뒤 오른편으로 올라갈 때 한번 (이때 점 P에서 최고점까지 이동 거리: $\displaystyle (7/10)^4d$)- 다시 점 P까지 내려올 때 한번 (이때 점 P까지 이동 거리: $\displaystyle (7/10)^4d$)이렇게 점 B에 있는 센서는 5번 작동한다.

[1.4] 공이 움직인 총 거리 $\displaystyle D$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}D&=d+\frac7{10}d+\frac7{10}d+\left(\frac7{10}\right)^2d+\left(\frac7{10}\right)^2d+\left(\frac7{10}\right)^3d+\left(\frac7{10}\right)^3d+\cdots\\&=d+2d\left\{\frac7{10}+\left(\frac7{10}\right)^2+\left(\frac7{10}\right)^3+\cdots\right\}=d+2d\frac{7/10}{1-7/10}=\frac{17}3d=\frac{17}3\times\frac{600}{49}=\frac{3400}{49}\end{aligned}$