서울과학기술대 2017학년도 수시 오후 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (총33점)

여섯 개의 지점이 있는 음식점 체인이 있다. 각 지점의 위치는 $\displaystyle \mathrm A=(1,1)$ , $\displaystyle \mathrm B=(3,5)$ , $\displaystyle \mathrm C=(5,2)$ , $\displaystyle \mathrm D=(2,8)$ , $\displaystyle \mathrm E=(7,4)$ , $\displaystyle \mathrm F=(4,7)$ 이며, 이 도시의 도로망은 다음 그림과 같이 격자점이 가로 세로로 연결되어 있다.

각 지점에 식자재를 공급하기 위해서 다음 조건을 만족하도록 물류센터를 지으려고 한다.

1. 지점에는 물류센터를 지을 수 없다.

2. 물류센터는 도로의 교차점에 지어야 한다.

3. 물류센터에서 각 지점까지 배송차의 운행거리의 합이 최소이어야 한다.

[3.1] 물류센터에서 각 지점까지 차량 1대씩 식자재를 배송한다고 할 때, 가능한 물류센터의 위치를 모두 구하시오. (12점)

[3.2] 물류센터에서 지점 $\displaystyle \mathrm A,\,B,\,C,\,D$ 까지는 차량 1대씩 운행하고, 지점 $\displaystyle \mathrm E,\,F$ 는 차량 2대씩 운행한다고 할 때, 가능한 물류센터의 위치를 모두 구하시오. (10점)

[3.3] 지점 $\displaystyle \mathrm A$ 에서 지점 $\displaystyle \mathrm F$ 까지 차량으로 이동하려고 한다. 도로를 따라 한 칸 이동할 때 걸리는 시간은 모두 같지만, 직선 $\displaystyle y=4$ 를 따라서 난 도로는 교통체증으로 인해 두 배의 시간이 걸린다. 지점 $\displaystyle \mathrm A$ 에서 지점 $\displaystyle \mathrm F$ 로 이동 할 때, 시간이 가장 적게 걸리는 경로는 모두 몇 가지인지 구하시오. (11점)

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[3.1] 물류센터의 위치를 $\displaystyle (m,n)$ 이라 하면, 가로방향의 운행거리의 합은 $\displaystyle f(m)=|m-1|+|m-3|+|m-5|+|m-2|+|m-7|+|m-4|\quad(m=1,2,\ldots,7)$ 이므로

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc}m&1&2&3&4&5&6&7\\\hline f(m)&16&12&10&10&12&16&20\end{array}$

이다. 따라서 $\displaystyle m=3,4$ 일 때 최솟값 $\displaystyle 10$ 을 갖는다. 세로방향의 운행거리의 합은 $\displaystyle g(n)=|n-1|+|n-5|+|n-2|+|n-8|+|n-4|+|n-7|\quad(n=1,2,\ldots,8)$ 이므로

$\displaystyle \begin{array}{c|cccccccc}n&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline g(n)&21&17&15&13&13&15&17&21\end{array}$

이다. 따라서 $\displaystyle n=4,5$ 일 때 최솟값 $\displaystyle 13$ 을 갖는다. 그런데 $\displaystyle (3,5)$ 에는 이미 지점이 있으므로 물류센터의 위치는 $\displaystyle (3,4),\,(4,4),\,(4,5)$ 가 가능하다.

[3.2] 물류센터의 위치를 $\displaystyle (m,n)$ 이라 하면, 지점 $\displaystyle \mathrm E,\,F$ 는 2대씩 운행하므로 가로방향의 운행거리의 합은 $\displaystyle f(m)=|m-1|+|m-3|+|m-5|+|m-2|+2|m-7|+2|m-4|\quad(m=1,2,\ldots,7)$ 이므로

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc}m&1&2&3&4&5&6&7\\\hline f(m)&25&19&15&13&15&19&23\end{array}$

이다. 따라서 $\displaystyle m=4$ 일 때 최솟값 $\displaystyle 13$ 을 갖는다. 세로방향의 운행거리의 합은 $\displaystyle g(n)=|n-1|+|n-5|+|n-2|+|n-8|+2|n-4|+2|n-7|\quad(n=1,2,\ldots,8)$ 이므로

$\displaystyle \begin{array}{c|cccccccc}n&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline g(n)&30&24&20&16&16&18&20&26\end{array}$

이다. 따라서 $\displaystyle n=4,5$ 일 때 최솟값 $\displaystyle 16$ 을 갖는다. 따라서 물류센터의 위치는 $\displaystyle (4,4),\,(4,5)$ 가 가능하다.

[3.3] 지점 $\displaystyle \mathrm A$ 에서 출발하여 $\displaystyle y=4$ 인 위치에 도달하면 세로로 한 칸 이동하여 $\displaystyle y=5$ 인 곳으로 이동한 후 지점 $\displaystyle \mathrm F$ 까지 가면 된다. 따라서 여덟 번의 이동 경로 중에서 가로로 세 번 이동하면 되므로 $\displaystyle {}_{8}\mathrm C_3=56$ 가지이다.

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자연계열 3번

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