자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle a_n=\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$이므로, $\displaystyle f_n(x)=f_{n-1}(x)\times x^{\frac1n-\frac1{n+1}}$이 된다. $\displaystyle f_0(x)=1$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}f_n(x)&=f_{n-1}(x)\times x^{\frac1n-\frac1{n+1}}=f_{n-2}(x)\times x^{\frac1{n-1}-\frac1n}\times x^{\frac1n-\frac1{n+1}}=\cdots\\&=1\times x^{\frac11-\frac1{1+1}}\times\cdots\times x^{\frac1{n-1}-\frac1n}\times x^{\frac1n-\frac1{n+1}}=x^{1-\frac1{n+1}}\end{aligned}$이다. 그러므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n(x)=x$이다.

[2.2] $\displaystyle a_n=n+1$이므로, $\displaystyle f_n(x)=f_{n-1}(x)\times x^{n+1}$이 된다. $\displaystyle f_0(x)=1$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}f_{30}(x)&=f_{29}(x)\times x^{31}=f_{28}(x)\times x^{30}\times x^{31}=\cdots\\&=1\times x^2\times\cdots\times x^{30}\times x^{31}=x^{2+\cdots+30+31}=x^{\frac{30\times33}2}=x^{495}\end{aligned}$이다.

[2.3] $\displaystyle f_n(x)=x^{\sum_{i=1}^n\frac1i}$이므로 $\displaystyle x^{\sum_{i=1}^n\frac1i}\geq x^{\frac{2n}{n+1}}$을 증명하면 된다. 또한 $\displaystyle x>1$이므로$\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac1i\geq\frac{2n}{n+1}$을 보이면 된다.1) $\displaystyle n=1$일 경우, 좌변과 우변은 모두 1이므로 식을 만족한다.2) $\displaystyle n=k$일 경우, 식을 만족한다고 가정하면, $\displaystyle \sum_{i=1}^k\frac1i\geq\frac{2k}{k+1}$이다. 양변에 $\displaystyle \frac1{k+1}$을 더하여 정리하면,$\displaystyle \sum_{i=1}^{k+1}\frac1i=\sum_{i=1}^k\frac1i+\frac1{k+1}\geq\frac{2k}{k+1}+\frac1{k+1}=\frac{2k+1}{k+1}$이다. 그런데 $\displaystyle \frac{2k+1}{k+1}-\frac{2(k+1)}{k+2}=\frac k{(k+1)(k+2)}>0$이므로,$\displaystyle \sum_{i=1}^{k+1}\frac1i\geq\frac{2(k+1)}{k+2}$이다. 따라서 $\displaystyle n=k+1$에 대해서도 만족하므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac1i\geq\frac{2n}{n+1}$가 성립한다.