자연계열 1번

[1.1] 아래 그림과 같은 단면에서

원의 중심을 $\displaystyle O$, 원과 직사각형이 만나는 점을 $\displaystyle A$, 직사각형의 밑변의 중점을 $\displaystyle B$라 하면 피타고라스 정리에 의하여$\displaystyle OB^2=OA^2-AB^2=400-300=100$이므로 $\displaystyle OB=10$이다. 따라서 높이는 $\displaystyle 20+10+10=40\,\mathrm{cm}$이다.

[1.2] 수면은 항상 원이다. 먼저 $\displaystyle 0\leq h\leq30$이라 하자. $\displaystyle 0\leq x\leq h$일 때 수면의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하면 수면의 넓이 $\displaystyle S(x)$는$\displaystyle S(x)=\pi r^2=\pi[20^2-(20-x)^2]=\pi(40x-x^2)$이므로$\displaystyle V=\int_0^h\pi(40x-x^2)\,dx=\pi\left(20h^2-\frac13h^3\right)$이다. 다음으로 $\displaystyle 30\leq h\leq40$이라 하자. $\displaystyle 30\leq x\leq h$일 때 수면의 넓이 $\displaystyle S(x)$는$\displaystyle S(x)=(10\sqrt3)^2\pi=300\pi$이므로$\displaystyle \begin{aligned}V(h)&=V(30)+300\pi(h-30)\\&=\pi\left(20\times30^2-\frac13\times30^3\right)+300\pi(h-30)=300\pi h\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle V(h)=\begin{cases}\pi\left(20h^2-\frac13h^3\right)&(0\leq h<30)\\300\pi h&(30\leq h\leq40)\end{cases}$이다.

[1.3] $\displaystyle h=20\,\mathrm{cm}$일 때이다.

[1.4] 문항 [1.3]에서 구한 $\displaystyle V(h)$를 $\displaystyle t$로 미분하면$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\begin{cases}\pi\left(40h\frac{dh}{dt}-h^2\frac{dh}{dt}\right)&(0<h<30)\\300\pi\frac{dh}{dt}&(30<h<40)\end{cases}$이다. 그런데 $\displaystyle \frac{dV}{dt}=300\pi$이므로$\displaystyle \frac{dh}{dt}=\begin{cases}\frac{300}{40h-h^2}&(0<h<30)\\1&(30<h<40)\end{cases}$이다. 여기서 $\displaystyle 0<h<30$일 때 $\displaystyle 40h-h^2=-(h-20)^2+400$이므로 $\displaystyle \frac{dh}{dt}$의 최솟값은 $\displaystyle h=20$일 때 $\displaystyle \frac34$이고, $\displaystyle 30<h<40$일 때 $\displaystyle \frac{dh}{dt}$의 값은 $\displaystyle 1$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{dh}{dt}$의 최솟값은 $\displaystyle h=20$일 때이고, 이때 $\displaystyle h$의 증가율은 $\displaystyle \frac34\,\mathrm{cm}/\text{분}$이다.