자연계열 2번

[2.1] 거울의 방정식과 레이저 광선의 방정식을 연립하여 풀면$\displaystyle y^2+4ny-8n-4=0$이므로$\displaystyle (y-2)(y+4n+2)=0$이다. 그런데 거울은 $\displaystyle y\geq0$에서만 정의되므로 교점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle (1,2)$이다. 또 $\displaystyle y^2=4x$를 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle y^{\prime}=\frac2y$이므로 점 $\displaystyle \mathrm P$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle 1$이고, 법선의 기울기는 $\displaystyle -1$이다. 따라서 법선의 방정식은$\displaystyle y-2=-(x-1)$즉, $\displaystyle y=-x+3$이다.

[2.2] 직선 $\displaystyle y=-\frac1nx+\frac{2n+1}n$의 방향벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{PA}=(n,-1)$이고 법선의 방향벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{PB}=(1,-1)$이므로$\displaystyle \cos\theta=\frac{(n,-1)\cdot(1,-1)}{|(n,-1)|\,|(1,-1)|}=\frac{n+1}{\sqrt2\sqrt{n^2+1}}$이다.

[2.3] 직선 $\displaystyle l$의 방향벡터를 $\displaystyle \vec u=(1,k)$라 하면, 법선의 방향벡터 $\displaystyle \overrightarrow{PB}=(1,-1)$과 $\displaystyle \vec u$ 사이의 각이 $\displaystyle \theta$이므로$\displaystyle \frac{1-k}{\sqrt2\sqrt{1+k^2}}=\cos\theta=\frac{n+1}{\sqrt2\sqrt{n^2+1}}$이어야 한다. 이 식을 간단히 하면$\displaystyle nk^2+(n^2+1)k+n=0$즉,$\displaystyle (nk+1)(k+n)=0$이므로 $\displaystyle k=-\frac1n,\,-n$이다. 여기서 $\displaystyle k=-\frac1n$일 때는 주어진 직선 $\displaystyle y=-\frac1nx+\frac{2n+1}n$의 방향벡터를 나타내므로, $\displaystyle k=-n$이다. 즉 직선 $\displaystyle l$의 방향벡터는 $\displaystyle (1,-n)$이다. 따라서 직선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle \frac{x-1}1=\frac{y-2}{-n}$즉, $\displaystyle y=-nx+n+2$이다.

[2.4] 직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle x$축과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{n+2}n$이다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}n=1$이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 점 $\displaystyle (1,0)$에 가까워진다.