서울과학기술대 2017학년도 수시 오전 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (33점)

(가) 기댓값(평균)이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수가 $\displaystyle P(X=x_i)=p_i$ ( $\displaystyle i=1,2,\ldots,n$ )일 때, $\displaystyle x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n=\sum_{i=1}^nx_ip_i$ 를 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값 또는 평균이라고 한다.

(나) 표본평균과 표본분산어느 모집단으로부터 임의 추출한 표본을 $\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_n$ 이라 할 때, 표본평균을 $\displaystyle \overline X_n$ , 표본분산을 $\displaystyle S_n^2$ 과 같이 나타내고, 다음과 같이 정의한다. $\displaystyle \overline X_n=\frac1n(X_1+X_2+\cdots+X_n)=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i$ $\displaystyle S_n^2=\frac1{n-1}\{(X_1-\overline X_n)^2+(X_2-\overline X_n)^2+\cdots+(X_n-\overline X_n)^2\}=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X_n)^2$

$\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle 9$ 까지의 숫자가 각각 하나씩 적힌 공 9개와 숫자 $\displaystyle 7$ 이 적힌 공 $\displaystyle k$ 개를 합하여 총 $\displaystyle k+9$ 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의 추출한 한 개의 공에 적힌 숫자를 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 하자.

[3.1] 확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값이 $\displaystyle 5.2$ 일 때, 위의 모집단에서 임의로 복원 추출한 크기 $\displaystyle 2$ 인 표본 $\displaystyle X_1,X_2$ 의 표본평균 $\displaystyle \overline X_2$ 의 값이 $\displaystyle 7$ 보다 작을 확률 $\displaystyle P(\overline X_2<7)$ 을 구하시오. (15점)

[3.2] 위의 모집단에서 크기가 $\displaystyle 5$ 인 표본 $\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_5$ 를 임의로 복원 추출한 결과 다음과 같다고 한다. $\displaystyle \sum_{i=1}^5X_i=30,\quad\sum_{i=1}^5X_i^2=200$ 이때, 추출된 자료 $\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_5$ 의 표본분산 $\displaystyle S_5^2$ 을 구하시오. (5점)

[3.3] 위의 모집단에서 크기가 $\displaystyle 10$ 인 표본 $\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_{10}$ 을 임의로 복원 추출한 결과 다음과 같다고 한다. $\displaystyle \overline X_{10}=5.4,\quad S_{10}^2=3.6$ 여기에 추가적으로 11번째 자료 즉, $\displaystyle X_{11}=1$ 이 추출되었다. 새롭게 구성된 11개의 자료 $\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_{10},X_{11}$ 의 표본평균 $\displaystyle \overline X_{11}$ 과 표본분산 $\displaystyle S_{11}^2$ 을 각각 구하시오. (13점)

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[3.1] 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. $\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc|c}X&1&2&3&4&5&6&7&8&9&\text{합계}\\\hline P(X=x)&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac{k+1}{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&1\end{array}$ 기댓값이 $\displaystyle \sum_{i=1}^9x_i\times P(X=x_i)=\sum_{i=1}^9i\times\frac1{k+9}+7\times\frac k{k+9}=\frac{45}{k+9}+\frac{7k}{k+9}=\frac{7k+45}{k+9}=5.2$ 이므로, $\displaystyle k=1$ 이다. $\displaystyle P(\overline X_2<7)$ 를 구하기 위하여 여사건의 확률 $\displaystyle P(\overline X_2\geq7)$ 를 이용한다. $\displaystyle \overline X_2\geq7$ 는 $\displaystyle X_1+X_2\geq14$ 와 같고, 다음의 표와 같은 경우에 해당된다. 전체 경우의 수는 100이고, $\displaystyle X_1+X_2\geq14$ 를 만족하는 경우의 수는 총 22가지이므로 $\displaystyle \begin{array}{c|c|c}X_1&X_2&\text{경우의 수}\\\hline5&9&1\times1\\6&8\quad9&1\times2\\7&7\quad8\quad9&2\times(2+2)\\8&6\quad7\quad8\quad9&1\times(3+2)\\9&5\quad6\quad7\quad8\quad9&1\times(4+2)\end{array}$ $\displaystyle P(\overline X_2<7)=1-P(\overline X_2\geq7)=1-\frac{22}{100}=\frac{78}{100}$ 이다.

[3.2] $\displaystyle \sum_{i=1}^5X_i=30$ 이므로, $\displaystyle \overline X_5=\frac15\sum_{i=1}^5X_i=\frac{30}5=6$ $\displaystyle S_5^2=\frac1{5-1}\sum_{i=1}^5(X_i-\overline X_5)^2=\frac14\sum_{i=1}^5(X_i^2-12X_i+36)=\frac14(200-12\times30+180)=5$

[3.3] (1) $\displaystyle \overline X_{10}=\frac1{10}\sum_{i=1}^{10}X_i=5.4$ 이므로 $\displaystyle \sum_{i=1}^{10}X_i=54$ 이다. $\displaystyle \overline X_{11}=\frac1{11}\sum_{i=1}^{11}X_i=\frac1{11}\left(\sum_{i=1}^{10}X_i+X_{11}\right)=\frac1{11}(54+1)=5$ (2) $\displaystyle \begin{aligned}S_{11}^2&=\frac1{11-1}\sum_{i=1}^{11}(X_i-\overline X_{11})^2=\frac1{10}\left\{\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{11})^2+(X_{11}-\overline X_{11})^2\right\}\\&=\frac1{10}\left\{\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10}+\overline X_{10}-\overline X_{11})^2+(1-5)^2\right\}\\&=\frac1{10}\left\{\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2+0.8\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})+1.6+16\right\}\\&=\frac1{10}(9S_{10}^2+17.6)=5\quad\left(\because\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})=0\right)\end{aligned}$

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자연계열 3번

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