자연계열 3번

[3.1] 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc|c}X&1&2&3&4&5&6&7&8&9&\text{합계}\\\hline P(X=x)&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&\frac{k+1}{k+9}&\frac1{k+9}&\frac1{k+9}&1\end{array}$기댓값이$\displaystyle \sum_{i=1}^9x_i\times P(X=x_i)=\sum_{i=1}^9i\times\frac1{k+9}+7\times\frac k{k+9}=\frac{45}{k+9}+\frac{7k}{k+9}=\frac{7k+45}{k+9}=5.2$이므로, $\displaystyle k=1$이다.$\displaystyle P(\overline X_2<7)$를 구하기 위하여 여사건의 확률 $\displaystyle P(\overline X_2\geq7)$를 이용한다. $\displaystyle \overline X_2\geq7$는 $\displaystyle X_1+X_2\geq14$와 같고, 다음의 표와 같은 경우에 해당된다. 전체 경우의 수는 100이고, $\displaystyle X_1+X_2\geq14$를 만족하는 경우의 수는 총 22가지이므로$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}X_1&X_2&\text{경우의 수}\\\hline5&9&1\times1\\6&8\quad9&1\times2\\7&7\quad8\quad9&2\times(2+2)\\8&6\quad7\quad8\quad9&1\times(3+2)\\9&5\quad6\quad7\quad8\quad9&1\times(4+2)\end{array}$$\displaystyle P(\overline X_2<7)=1-P(\overline X_2\geq7)=1-\frac{22}{100}=\frac{78}{100}$이다.

[3.2] $\displaystyle \sum_{i=1}^5X_i=30$이므로, $\displaystyle \overline X_5=\frac15\sum_{i=1}^5X_i=\frac{30}5=6$$\displaystyle S_5^2=\frac1{5-1}\sum_{i=1}^5(X_i-\overline X_5)^2=\frac14\sum_{i=1}^5(X_i^2-12X_i+36)=\frac14(200-12\times30+180)=5$

[3.3] (1) $\displaystyle \overline X_{10}=\frac1{10}\sum_{i=1}^{10}X_i=5.4$이므로 $\displaystyle \sum_{i=1}^{10}X_i=54$이다.$\displaystyle \overline X_{11}=\frac1{11}\sum_{i=1}^{11}X_i=\frac1{11}\left(\sum_{i=1}^{10}X_i+X_{11}\right)=\frac1{11}(54+1)=5$(2)$\displaystyle \begin{aligned}S_{11}^2&=\frac1{11-1}\sum_{i=1}^{11}(X_i-\overline X_{11})^2=\frac1{10}\left\{\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{11})^2+(X_{11}-\overline X_{11})^2\right\}\\&=\frac1{10}\left\{\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10}+\overline X_{10}-\overline X_{11})^2+(1-5)^2\right\}\\&=\frac1{10}\left\{\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2+0.8\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})+1.6+16\right\}\\&=\frac1{10}(9S_{10}^2+17.6)=5\quad\left(\because\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})=0\right)\end{aligned}$