자연계열 1-1번

[1.1] 주어진 식을 전개하면$\displaystyle (a+2b+1)^2-8ab+\frac{18}{a+2b}=(a-2b)^2+2(a+2b)+1+\frac{18}{a+2b}$이다. $\displaystyle a,b$가 양수이므로 $\displaystyle a+2b>0$이고 산술평균과 기하평균의 관계식에 의해서$\displaystyle 2(a+2b)+\frac{18}{a+2b}\geq2\sqrt{2(a+2b)\left(\frac{18}{a+2b}\right)}=12$이고 등호는 $\displaystyle 2(a+2b)=\frac{18}{a+2b}$일 때 생긴다. 또한 $\displaystyle (a-2b)^2\geq0$이므로$\displaystyle (a-2b)^2+2(a+2b)+1+\frac{18}{a+2b}\geq13$이고, 이 식이 최솟값 $\displaystyle 13$을 가지려면$\displaystyle a-2b=0,\ 2(a+2b)=\frac{18}{a+2b}$이어야 한다. 따라서$\displaystyle a=2b,\ a+2b=3$이고, 두 식을 풀면 $\displaystyle a=\frac32,b=\frac34$이다.