자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle \angle\mathrm{POA}=\angle\mathrm{PBA}=\theta$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=2$이므로 점 P의 좌표는 $\displaystyle (2\cos\theta,2\sin\theta)$이다.

[2.2] $\displaystyle \triangle\mathrm{APB}$의 넓이를 $\displaystyle S$라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=2\sin\theta$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=2\cos\theta$이므로$\displaystyle S=2\sin\theta\cos\theta$이다. 또 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2$이고 $\displaystyle S$는 $\displaystyle \triangle\mathrm{APC}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{PBC}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{BAC}$의 넓이의 합과 같으므로$\displaystyle S=r\sin\theta+r\cos\theta+r$이다. 따라서$\displaystyle r=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta+1}=\frac{2\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta-1)}{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1}=\sin\theta+\cos\theta-1$이므로 $\displaystyle a=b=1$이고 $\displaystyle c=-1$이다.

[2.3] 문항 [2.2]에서 구한 $\displaystyle r$를 이용하여 점 C의 좌표를 $\displaystyle \theta$로 나타내면$\displaystyle (2\cos\theta-r,2\sin\theta-r)=(\cos\theta-\sin\theta+1,\sin\theta-\cos\theta+1)$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}^2=(\cos\theta-\sin\theta+1)^2+(\sin\theta-\cos\theta+1)^2=-4\sin\theta\cos\theta+4=\frac{70}{25}$이므로 $\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac3{10}$이다. 또$\displaystyle (\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{16}{10}$이고 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi4$이므로 $\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\frac4{\sqrt{10}}$이다. 따라서 $\displaystyle \sin\theta$와 $\displaystyle \cos\theta$는 이차방정식$\displaystyle t^2-\frac4{\sqrt{10}}t+\frac3{10}=\left(t-\frac1{\sqrt{10}}\right)\left(t-\frac3{\sqrt{10}}\right)=0$의 두 근이고, $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi4$에서 $\displaystyle \sin\theta<\cos\theta$이므로$\displaystyle \sin\theta=\frac1{\sqrt{10}},\quad\cos\theta=\frac3{\sqrt{10}}$이다. 따라서 $\displaystyle \tan\theta=\frac13$이다.