자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle 4\log_4(1-r)=2\log_2(1-r)$이므로 주어진 방정식은$\displaystyle \log_2(1+r)+\log_2(3-r)-2\log_2(1-r)=\log_2 15$이고 로그의 진수는 양수여야 하므로 $\displaystyle -1<r<1$이다. 따라서$\displaystyle \frac{(1+r)(3-r)}{(1-r)^2}=15,\ -1<r<1$이다. 정리하면$\displaystyle 4r^2-8r+3=(2r-1)(2r-3)=0,$이므로 $\displaystyle r=\frac12$이다.

[3.2] 점 $\displaystyle (r,1)$은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점이므로$\displaystyle f(r)=1$이고, 이점에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle 0$이므로$\displaystyle f^{\prime}(r)=0$이다. 또한 문항 [3.1]에서 $\displaystyle r=\frac12$이므로$\displaystyle f\left(\frac12\right)=1,\quad f^{\prime}\left(\frac12\right)=0$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=2ax+b$이므로 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac12\right)=a+b=0$. 따라서 $\displaystyle b=-a$이다.또 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=a\left(\frac12\right)^2+b\left(\frac12\right)=1$이고, $\displaystyle b=-a$를 대입하면 $\displaystyle a=-4$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=-4x^2+4x$이다.

[3.3] 문항 [3.2]에서 $\displaystyle f(x)=-4x^2+4x$이므로$\displaystyle x^nf(x)=x^n(-4x^2+4x)=-4x^{n+2}+4x^{n+1}$이다. 곡선 $\displaystyle y=x^nf(x)$는 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle x$축과 만나고 구간 $\displaystyle 0\leq x\leq1$에서 $\displaystyle f(x)\geq0$이므로$\displaystyle S_n=\int_0^1x^nf(x)\,dx=\int_0^1(-4x^{n+2}+4x^{n+1})\,dx=4\left(\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right)$이다. 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$의 부분합을 구하면$\displaystyle \sum_{n=1}^NS_n=4\left[\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac1{N+2}-\frac1{N+3}\right)\right]=4\left(\frac13-\frac1{N+3}\right)$이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\lim_{N\to\infty}4\left(\frac13-\frac1{N+3}\right)=\frac43$이다.