자연계 1교시 수학1

성균관대 2021학년도 수시 자연계 1교시 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2021su/jayeongyo1_1

[수학1] 다음 <제시문1>~<제시문4>를 읽고 [수학1-ⅰ] ~ [수학1-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>초점이 $\displaystyle (0,p)$ , 준선이 $\displaystyle y=-p$ 인 포물선의 방정식은 다음과 같다. $\displaystyle x^{2}=4py$ 　(단, $\displaystyle p\ne0$ )

<제시문2>포물선 $\displaystyle x^{2}=4py$ 위의 원점이 아닌 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}$ 라 한다. 또한, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 $\displaystyle y$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{E}$ 라 한다.

<제시문3>자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, 포물선 $\displaystyle y=nx^{2}$ 위의 원점이 아닌 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}$ 을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}_{n}$ 이라 한다. 또한, 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}$ 에서 $\displaystyle y$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{E}_{n}$ 이라 한다. 이때 선분 $\displaystyle \mathrm{D}_{n}\mathrm{E}_{n}$ 의 길이를 $\displaystyle a_{n}$ 이라 한다.

<제시문4>포물선 $\displaystyle x^{2}=4py$ 위의 원점이 아닌 점 $\displaystyle \left(a,\frac{a^{2}}{4p}\right)$ (단, $\displaystyle a>0$ )을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선을 $\displaystyle \ell_{a}$ 라 한다. 직선 $\displaystyle \ell_{a}$ 가 포물선 $\displaystyle x^{2}=4py$ 와 만나는 두 점의 $\displaystyle y$ 좌표의 값을 각각 $\displaystyle f(a)$ , $\displaystyle g(a)$ 라 하고, $\displaystyle \ell_{a}$ 가 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표의 값을 $\displaystyle h(a)$ 라 한다.

[수학1-ⅰ] <제시문2>의 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{E}$ 사이의 거리는, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 위치에 관계없이 항상 포물선 $\displaystyle x^{2}=4py$ 의 초점과 준선 사이의 거리와 같음을 보이고 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅱ] <제시문3>에서 정의된 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 에 대해서, 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}a_{n+1}$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅲ] <제시문4>에서 정의된 $\displaystyle f(a)$ , $\displaystyle g(a)$ , $\displaystyle h(a)$ 에 대해서, 극한 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{f(a)g(a)}{ah(a)}$ 의 값은 $\displaystyle p$ 에 관계없이 일정함을 보이고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

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+7점 · 접선에 수직인 직선의 방정식

\displaystyle y=-\frac{2p}{a}x+2p+\frac{a^{2}}{4p}

도출

[수학1-ⅰ]

점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 를 $\displaystyle \mathrm{C}\left(a,\frac{a^{2}}{4p}\right)$ 라 두면 $\displaystyle \mathrm{E}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\frac{a^{2}}{4p}\right)$ 가 된다.

한편, $\displaystyle y^{\prime}=\frac{x}{2p}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{C}$ 를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{2p}{a}(x-a)+\frac{a^{2}}{4p}=-\frac{2p}{a}x+2p+\frac{a^{2}}{4p}$ 이고, 따라서 $\displaystyle \mathrm{D}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(0,2p+\frac{a^{2}}{4p}\right)$ 이다.

+3점 · 선분

\displaystyle \mathrm{DE}

의 길이가

\displaystyle 2|p|

임을 도출

따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{DE}$ 의 길이는 $\displaystyle \left|2p+\frac{a^{2}}{4p}-\frac{a^{2}}{4p}\right|=2|p|$ 이다. 이는 포물선의 초점 $\displaystyle (0,p)$ 와 준선 $\displaystyle y=-p$ 의 거리 $\displaystyle |p-(-p)|=2|p|$ 와 일치한다.

+5점 ·

\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2n}

도출

[수학1-ⅱ] $\displaystyle x^{2}=\frac{1}{n}y=4\left(\frac{1}{4n}\right)y$ 이므로 [수학1-i]의 결과를 사용하면 $\displaystyle a_{n}=2\left(\frac{1}{4n}\right)=\frac{1}{2n}$ 임을 알 수 있다.

+5점 ·

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}a_{n+1}=\frac{1}{4}

도출

따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}a_{n+1}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\frac{1}{2(n+1)}\\&=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\\&=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\&=\frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$

각 3점 ·

\displaystyle f(a)(\text{or }g(a))=\frac{1}{4p}\left(\frac{8p^{2}+a^{2}}{a}\right)^{2}

\displaystyle h(a)=a+\frac{a^{3}}{8p^{2}}

유도

[수학1-ⅲ]접선에 수직인 직선을 $\displaystyle \ell_{a}$ 라 하면 $\displaystyle \ell_{a}:y=-\frac{2p}{a}(x-a)+\frac{a^{2}}{4p}=-\frac{2p}{a}x+2p+\frac{a^{2}}{4p}$ 따라서 $\displaystyle h(a)=\frac{2p+\frac{a^{2}}{4p}}{\frac{2p}{a}}=a+\frac{a^{3}}{8p^{2}}$

한편 직선 $\displaystyle \ell_{a}$ 와 포물선을 연립하면 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4p}=-\frac{2p}{a}x+2p+\frac{a^{2}}{4p}$ 즉 $\displaystyle x^{2}+\frac{8p^{2}}{a}x-8p^{2}-a^{2}=0$ 인수분해 하면 $\displaystyle (x-a)\left(x+\frac{8p^{2}+a^{2}}{a}\right)=0$ 이로부터 일반성을 잃지 않고 $\displaystyle f(a)=\frac{1}{4p}\left(\frac{8p^{2}+a^{2}}{a}\right)^{2},\quad g(a)=\frac{a^{2}}{4p}$ 라 둘 수 있다. 따라서

+4점 ·

\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{f(a)g(a)}{ah(a)}=\frac{1}{2}

도출

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to\infty}\frac{f(a)g(a)}{ah(a)}&=\lim_{a\to\infty}\frac{\frac{1}{16p^{2}}(a^{4}+16p^{2}a^{2}+64p^{4})}{\left(a^{2}+\frac{a^{4}}{8p^{2}}\right)}\\&=\lim_{a\to\infty}\frac{\frac{1}{16p^{2}}\left(1+\frac{16p^{2}}{a^{2}}+\frac{64p^{4}}{a^{4}}\right)}{\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{8p^{2}}\right)}\\&=\frac{\frac{1}{16p^{2}}}{\frac{1}{8p^{2}}}=\frac{1}{2}\end{aligned}$

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