자연계 1교시 수학1

[수학1-ⅰ]

따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{DE}$의 길이는$\displaystyle \left|2p+\frac{a^{2}}{4p}-\frac{a^{2}}{4p}\right|=2|p|$이다. 이는 포물선의 초점 $\displaystyle (0,p)$와 준선 $\displaystyle y=-p$의 거리 $\displaystyle |p-(-p)|=2|p|$와 일치한다.

[수학1-ⅱ]$\displaystyle x^{2}=\frac{1}{n}y=4\left(\frac{1}{4n}\right)y$이므로 [수학1-i]의 결과를 사용하면$\displaystyle a_{n}=2\left(\frac{1}{4n}\right)=\frac{1}{2n}$임을 알 수 있다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}a_{n+1}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\frac{1}{2(n+1)}\\&=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\\&=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\&=\frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$

[수학1-ⅲ]접선에 수직인 직선을 $\displaystyle \ell_{a}$라 하면$\displaystyle \ell_{a}:y=-\frac{2p}{a}(x-a)+\frac{a^{2}}{4p}=-\frac{2p}{a}x+2p+\frac{a^{2}}{4p}$따라서$\displaystyle h(a)=\frac{2p+\frac{a^{2}}{4p}}{\frac{2p}{a}}=a+\frac{a^{3}}{8p^{2}}$

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to\infty}\frac{f(a)g(a)}{ah(a)}&=\lim_{a\to\infty}\frac{\frac{1}{16p^{2}}(a^{4}+16p^{2}a^{2}+64p^{4})}{\left(a^{2}+\frac{a^{4}}{8p^{2}}\right)}\\&=\lim_{a\to\infty}\frac{\frac{1}{16p^{2}}\left(1+\frac{16p^{2}}{a^{2}}+\frac{64p^{4}}{a^{4}}\right)}{\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{8p^{2}}\right)}\\&=\frac{\frac{1}{16p^{2}}}{\frac{1}{8p^{2}}}=\frac{1}{2}\end{aligned}$