자연계 3교시 수학2

(a) $\displaystyle x\le0$: 두 식 $\displaystyle y=2x^{2}+4x+3$과 $\displaystyle y=x+3$을 연립하여 풀면, 두 교점 $\displaystyle \left(-\frac32,\frac32\right)$과 $\displaystyle (0,3)$을 얻는다.

(b) $\displaystyle x>0$: 두 식 $\displaystyle y=\frac1x+2$와 $\displaystyle y=x+3$을 연립하여 풀면, 교점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{3}\left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\frac{5+\sqrt5}{2}\right)$를 얻는다.

답: $\displaystyle \mathrm{Q}_{1}\left(-\frac32,\frac32\right)$, $\displaystyle \mathrm{Q}_{2}(0,3)$, $\displaystyle \mathrm{Q}_{3}\left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\frac{5+\sqrt5}{2}\right)$

(a) $\displaystyle x\le0$: $\displaystyle f(x)<g(x)$인 부분을 살펴보면, 부등식 $\displaystyle 2x^{2}+4x+3<x+3$ 으로부터 $\displaystyle -\frac32<x<0$을 얻는다. 또한 $\displaystyle f(0)=g(0)$이다. 따라서 $\displaystyle x\le0$일 때, 함수 $\displaystyle h(x)$는 다음과 같다. $\displaystyle h(x)=\begin{cases}x+3&\left(x\le-\frac32\right)\\2x^{2}+4x+3&\left(-\frac32<x\le0\right)\end{cases}$

(b) $\displaystyle x>0$: $\displaystyle f(x)<g(x)$인 부분을 살펴보면, 부등식 $\displaystyle \frac1x+2<x+3$ 로부터 $\displaystyle x>\frac{-1+\sqrt5}{2}$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle x>0$일 때, 함수 $\displaystyle h(x)$는 다음과 같다. $\displaystyle h(x)=\begin{cases}x+3&\left(0<x\le\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)\\\frac1x+2&\left(x>\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)\end{cases}$

이로부터 곡선 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프의 개형은 아래와 같다.

위 그림에서 접선의 기울기가 $\displaystyle t$일 때, 이차방정식 $\displaystyle 2x^{2}+4x+3=t(x+3)$이 중근을 가지므로, 판별식은 0이 되어, $\displaystyle t=-8+6\sqrt2$를 얻는다. 이로부터 아래와 같은 표를 얻는다.

$\displaystyle \mathrm{P}_{n}(\alpha_{n},\beta_{n})$에서 편의상 $\displaystyle \alpha=\alpha_{n}$, $\displaystyle \beta=\beta_{n}$이라고 표기하자. 접점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$이 2사분면 위에 놓여있어야 하므로, $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$은 포물선 $\displaystyle y=2x^{2}+4x+3$ 위에 놓여있어야 한다. 또한 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}(\alpha,\beta)$의 $\displaystyle x$-좌표인 $\displaystyle \alpha$는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{1}$의 $\displaystyle x$-좌표인 $\displaystyle -\frac32$와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{2}$의 $\displaystyle x$-좌표인 $\displaystyle 0$ 사이에 놓여있게 된다. 포물선 $\displaystyle y=2x^{2}+4x+3=2(x+1)^{2}+1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}(\alpha,\beta)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle (\alpha+1)(x+1)=\frac14(y-1+\beta-1)$로 주어지고, 이 직선이 점 $\displaystyle (n,0)$을 지나므로, 식 $\displaystyle (\alpha+1)(n+1)=\frac14(\beta-2)$를 얻는다. 이제 이 식에 $\displaystyle \beta=2\alpha^{2}+4\alpha+3$을 대입하고 정리하면, $\displaystyle \alpha$는 2차방정식 $\displaystyle 2x^{2}-4nx-(4n+3)=0$이 근이 됨을 알 수 있다. 근의 공식과 $\displaystyle \alpha$의 범위를 고려하면, $\displaystyle \alpha_{n}=n-\frac12\sqrt{4n^{2}+8n+6}$을 얻고, 식 $\displaystyle (\alpha+1)(n+1)=\frac14(\beta-2)$로부터 $\displaystyle \beta_{n}=(4n^{2}+8n+6)-(2n+2)\sqrt{4n^{2}+8n+6}$을 얻게 된다.

답: $\displaystyle \alpha_{n}=n-\frac12\sqrt{4n^{2}+8n+6}$, $\displaystyle \beta_{n}=(4n^{2}+8n+6)-(2n+2)\sqrt{4n^{2}+8n+6}$,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=-1$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\beta_{n}=1$

(iii)번의 풀이에서 접선 $\displaystyle l_{n}$의 방정식은 $\displaystyle (\alpha+1)(x+1)=\frac14(y-1+\beta-1)$로 주어지므로, 이 식에 $\displaystyle x=0$을 대입하면, $\displaystyle y=4\alpha-\beta+6$ 이 되므로, 점 $\displaystyle \mathrm{T}_{n}$의 $\displaystyle y$-좌표는 $\displaystyle 4\alpha-\beta+6$ 과 같다. 또한 접선 $\displaystyle l_{n}$은 곡선 $\displaystyle y=h(x)$와 2사분면에 있는 직선부분과 만나므로, 두 식 $\displaystyle (\alpha+1)(x+1)=\frac14(y-1+\beta-1)$과 $\displaystyle y=x+3$을 연립해서 풀면, $\displaystyle x=\frac{\beta-4\alpha-3}{4\alpha+3}$이 되므로, 교점 $\displaystyle \mathrm{R}_{n}$의 $\displaystyle x$-좌표는 $\displaystyle \frac{\beta-4\alpha-3}{4\alpha+3}$이 된다.

답: (점 $\displaystyle \mathrm{T}_{n}$의 $\displaystyle y$-좌표)=$\displaystyle 4\alpha_{n}-\beta_{n}+6$, (점 $\displaystyle \mathrm{R}_{n}$의 $\displaystyle x$-좌표)=$\displaystyle \frac{\beta_{n}-4\alpha_{n}-3}{4\alpha_{n}+3}$,$\displaystyle S_{n}=-\frac12\frac{(\beta_{n}-4\alpha_{n}+3)^{2}}{4\alpha_{n}+3}-\frac98$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{n}=\frac78$Correction. 넓이 식의 분자 $\displaystyle (\beta_n-4\alpha_n+3)^2$는 $\displaystyle (\beta_n-4\alpha_n-3)^2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.