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자연계 1교시 수학2

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성균관대 2021학년도 수시 자연계 1교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2021su/jayeongyo1_2

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문제

[수학2]

<제시문1>유리함수 y=2x+12x+2\displaystyle y=\frac{2x+1}{2x+2}의 그래프 위의 임의의 한 점 P(α,β)\displaystyle \mathrm{P}(\alpha,\beta)로부터 원점까지 이르는 거리를 r\displaystyle r이라 하자.

<제시문2>실수 a,b,c\displaystyle a, b, c에 대하여 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca가 성립한다.

[수학2-ⅰ] <제시문1>의 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta에 대해 α>−1\displaystyle \alpha>-1일 때, α−β\displaystyle \alpha-\beta의 최솟값과 α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때 α−β\displaystyle \alpha-\beta의 최댓값을 각각 구하고, 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅱ] <제시문1>의 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta, r\displaystyle r에 대해 α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때, α−β\displaystyle \alpha-\beta를 r\displaystyle r에 대한 식으로 나타내고, 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅲ] <제시문1>의 α\displaystyle \alpha, r\displaystyle r, 점 P\displaystyle \mathrm{P}, 그리고 점 Q(−2,2)\displaystyle \mathrm{Q}(-2,2)에 대해 α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때, 선분 PQ\displaystyle \mathrm{PQ}의 길이를 r\displaystyle r에 대한 식으로 나타내고, 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅳ] <제시문1>의 α\displaystyle \alpha와 r\displaystyle r에 대해 α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때, α\displaystyle \alpha를 한 근으로 갖는 2차방정식을 2x2+b1x+b0=0\displaystyle 2x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0이라고 하자. 이 때, b0\displaystyle b_{0}, b1\displaystyle b_{1}의 값을 r\displaystyle r에 대한 식으로 표시하고, 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2021학년도 수시 자연계 1교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2021su/jayeongyo1_2

[수학2-ⅰ]

α−β=α−2α+12α+2\displaystyle \alpha-\beta=\alpha-\frac{2\alpha+1}{2\alpha+2}이므로 함수 f(α)=α−2α+12α+2\displaystyle f(\alpha)=\alpha-\frac{2\alpha+1}{2\alpha+2}로 정의하고, f(α)\displaystyle f(\alpha)의 미분을 계산하면 f′(α)=2α2+4α+12(α+1)2\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=\frac{2\alpha^{2}+4\alpha+1}{2(\alpha+1)^{2}}이 된다. 이로부터 다음과 같은 표를 얻는다.

xx⋯−1−12-1-\frac1{\sqrt2}⋯−1⋯−1+12-1+\frac1{\sqrt2}⋯
f′(x)f^{\prime}(x)+0−정의되지않음−0+
f(x)f(x)↗−2−2-2-\sqrt2↘정의되지않음↘−2+2-2+\sqrt2↗

따라서 α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때, 최댓값 f(−1−12)=−2−2\displaystyle f\left(-1-\frac{1}{\sqrt2}\right)=-2-\sqrt2를 얻고, α>−1\displaystyle \alpha>-1일 때, 최솟값 f(−1+12)=−2+2\displaystyle f\left(-1+\frac{1}{\sqrt2}\right)=-2+\sqrt2를 얻는다.

+4점 · α>−1\displaystyle \alpha>-1일 때, α−β\displaystyle \alpha-\beta의 최솟값을 구한다

답: α\displaystyle \alpha가 −1\displaystyle -1보다 큰 경우에 α−β\displaystyle \alpha-\beta의 최솟값은 2−2\displaystyle \sqrt2-2

+4점 · α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때, α−β\displaystyle \alpha-\beta의 최댓값을 구한다.

α\displaystyle \alpha가 −1\displaystyle -1보다 작은 경우에 α−β\displaystyle \alpha-\beta의 최댓값은 −2−2\displaystyle -\sqrt2-2

+8점 · (α−β+1)2=r2\displaystyle (\alpha-\beta+1)^{2}=r^{2}임을 보인다.

[수학2-ⅱ]

β=2α+12α+2\displaystyle \beta=\frac{2\alpha+1}{2\alpha+2}로부터 2αβ+2β=2α+1\displaystyle 2\alpha\beta+2\beta=2\alpha+1을 얻고, 양변에 α2+β2\displaystyle \alpha^{2}+\beta^{2}을 더하면, 2αβ+2β+α2+β2=2α+1+α2+β2\displaystyle 2\alpha\beta+2\beta+\alpha^{2}+\beta^{2}=2\alpha+1+\alpha^{2}+\beta^{2}이 된다. 이제 좌변에 α2+β2\displaystyle \alpha^{2}+\beta^{2}을 남겨놓고, 나머지 항들을 우변으로 이항하면, α2+β2=2α+1+α2+β2−2αβ−2β=(α−β+1)2\displaystyle \alpha^{2}+\beta^{2}=2\alpha+1+\alpha^{2}+\beta^{2}-2\alpha\beta-2\beta=(\alpha-\beta+1)^{2} 이 된다. 따라서 (α−β+1)2=α2+β2=r2\displaystyle (\alpha-\beta+1)^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}=r^{2} 이 항상 성립한다.

+4점 · α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때, α−β+1\displaystyle \alpha-\beta+1가 항상 음수임을 보이고, 이를 이용하여 α−β=−r−1\displaystyle \alpha-\beta=-r-1임을 보인다.

(i)번의 풀이에서 α\displaystyle \alpha가 −1\displaystyle -1보다 작은 경우에 α−β\displaystyle \alpha-\beta의 최댓값은 −2−2\displaystyle -\sqrt2-2이므로, α−β+1\displaystyle \alpha-\beta+1의 최댓값은 −2−1\displaystyle -\sqrt2-1이 되어 α−β+1\displaystyle \alpha-\beta+1은 항상 음수가 된다. 따라서 α\displaystyle \alpha가 −1\displaystyle -1보다 작은 경우에 α−β+1=−r\displaystyle \alpha-\beta+1=-r이 된다. 그러므로 α−β=−r−1\displaystyle \alpha-\beta=-r-1과 같다.

답: α−β=−r−1\displaystyle \alpha-\beta=-r-1

+3점 · α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때, PQ‾2=(r−2)2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^{2}=(r-2)^{2} 임을 보인다.

[수학2-ⅲ]

(ii)번의 결과로부터 α−β=−r−1\displaystyle \alpha-\beta=-r-1이므로, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.PQ‾2=(α+2)2+(β−2)2=α2+β2+4(α−β)+8=r2+4(−r−1)+8=(r−2)2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^{2}=(\alpha+2)^{2}+(\beta-2)^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+4(\alpha-\beta)+8=r^{2}+4(-r-1)+8=(r-2)^{2}

+3점 · α<−1\displaystyle \alpha<-1일 때, r−2\displaystyle r-2가 항상 양수임을 보이고, 이를 이용하여 PQ‾=r−2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=r-2임을 보인다.

(i)번의 결과로부터 −r−1=α−β≤−2−2\displaystyle -r-1=\alpha-\beta\le-\sqrt2-2이므로, r−2≥2−1>0\displaystyle r-2\ge\sqrt2-1>0이므로, 위의 식에서 PQ‾=r−2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=r-2가 된다.

답: PQ‾=r−2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=r-2

+4점 · b0\displaystyle b_{0}와 b1\displaystyle b_{1}의 값을 r\displaystyle r에 대한 식으로 구한다.

[수학2-ⅳ]

(ii)번의 결과로부터 α−β=−r−1\displaystyle \alpha-\beta=-r-1이고 β=2α+12α+2\displaystyle \beta=\frac{2\alpha+1}{2\alpha+2}이므로, α−2α+12α+2=−r−1\displaystyle \alpha-\frac{2\alpha+1}{2\alpha+2}=-r-1이 되어 양변에 2α+2\displaystyle 2\alpha+2를 곱해주고 정리하면, 2α2+(2r+2)α+(2r+1)=0\displaystyle 2\alpha^{2}+(2r+2)\alpha+(2r+1)=0이 된다. 따라서 b1=2r+2\displaystyle b_{1}=2r+2, b0=2r+1\displaystyle b_{0}=2r+1이 됨을 알 수 있다.

답: b1=2r+2\displaystyle b_{1}=2r+2, b0=2r+1\displaystyle b_{0}=2r+1

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