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자연계 2교시 수학2

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성균관대 2021학년도 수시 자연계 2교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2021su/jayeongyo2_2

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[수학2]다음 <제시문1> ~ <제시문4>를 읽고 [수학2-ⅰ] ~ [수학2-ⅴ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x), y=g(x)\displaystyle y=g(x) 및 두 직선 x=a\displaystyle x=a, x=b\displaystyle x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는 다음과 같다.S=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx

<제시문2>실수 e\displaystyle e를 e=lim⁡x→0(1+x)1x\displaystyle e=\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x} 로 정의한다.

<제시문3>함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)에서 lim⁡x→af(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L, lim⁡x→ag(x)=M\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=M (L\displaystyle L, M\displaystyle M은 실수)일 때, a\displaystyle a에 가까운 모든 실수 x\displaystyle x에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)가 f(x)≤h(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le h(x)\le g(x) 이고 L=M\displaystyle L=M 이면 lim⁡x→ah(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}h(x)=L 이다.

<제시문4>곡선 y=1x\displaystyle y=\frac1x (단, x>0\displaystyle x>0), 직선 x=1\displaystyle x=1, 직선 y=1a\displaystyle y=\frac1a로 둘러싸인 영역의 넓이를 f(a)\displaystyle f(a)라 한다. 직선 x=1\displaystyle x=1, 직선 x=a\displaystyle x=a, 직선 y=1a\displaystyle y=\frac1a, 직선 y=0\displaystyle y=0으로 둘러싸인 영역의 넓이를 g(a)\displaystyle g(a)라 한다. 함수 h\displaystyle h를 h(a)=f(a)−g(a)\displaystyle h(a)=f(a)-g(a) 라 정의한다. (단, a>1\displaystyle a>1)

[수학2-ⅰ] <제시문4>에서 정의된 h(a)\displaystyle h(a)를 a\displaystyle a에 관한 식으로 표현하고 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅱ] <제시문4>에서 정의된 h(a)\displaystyle h(a)의 최솟값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅲ] <제시문4>에서 정의된 h(a)\displaystyle h(a)에 대하여, 극한 lim⁡a→1h(a)a−1\displaystyle \lim_{a\to1}\frac{h(a)}{a-1}의 값을 구하고 그 이유를 논하시오. (단, 로피탈의 정리는 사용할 수 없음)

[수학2-ⅳ] <제시문4>에서 정의된 h(a)\displaystyle h(a)가 a>1\displaystyle a>1에서 부등식 h(a)<2a\displaystyle h(a)<2\sqrt{a}을 만족함을 보이고 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅴ] <제시문4>에서 정의된 h(a)\displaystyle h(a)에 대하여, 극한 lim⁡a→∞h(a)a\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{h(a)}{a}의 값을 구하고 그 이유를 논하시오. (단, 로피탈의 정리는 사용할 수 없음)

해설강의 준비중

성균관대 2021학년도 수시 자연계 2교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2021su/jayeongyo2_2

+4점 · f(a)=ln⁡a+1a−1\displaystyle f(a)=\ln a+\frac1a-1 유도

[수학2-ⅰ]문제의 조건으로 부터f(a)=∫1a(1x−1a)dx=(ln⁡a−1)−(ln⁡1−1a)=ln⁡a+1a−1\displaystyle f(a)=\int_{1}^{a}\left(\frac1x-\frac1a\right)dx=(\ln a-1)-\left(\ln1-\frac1a\right)=\ln a+\frac1a-1

+2점 · h(a)=ln⁡a+2a−2\displaystyle h(a)=\ln a+\frac2a-2 유도

g(a)=(a−1)1a=1−1a\displaystyle g(a)=(a-1)\frac1a=1-\frac1a따라서h(a)=ln⁡a+2a−2\displaystyle h(a)=\ln a+\frac2a-2

+3점 · h′(a)=a−2a2\displaystyle h^{\prime}(a)=\frac{a-2}{a^{2}} 유도

[수학2-ⅱ]h′(a)=1a−2a2=a−2a2\displaystyle h^{\prime}(a)=\frac1a-\frac2{a^{2}}=\frac{a-2}{a^{2}}, h′′(a)=−1a2+4a3\displaystyle h^{\prime\prime}(a)=-\frac1{a^{2}}+\frac4{a^{3}}이고 h′′(2)=14>0\displaystyle h^{\prime\prime}(2)=\frac14>0 이므로

+3점 · 최솟값 h(2)=ln⁡2−1\displaystyle h(2)=\ln2-1

h(a)\displaystyle h(a)의 최솟값은 h(2)=ln⁡2−1\displaystyle h(2)=\ln2-1 이다.

+4점 · lim⁡a→1ln⁡aa−1=lim⁡x→0ln⁡(1+x)1x\displaystyle \lim_{a\to1}\frac{\ln a}{a-1}=\lim_{x\to0}\ln(1+x)^{\frac1x} 임을 유도

[수학2-ⅲ]h(a)a−1=ln⁡aa−1−2a\displaystyle \frac{h(a)}{a-1}=\frac{\ln a}{a-1}-\frac2a이므로lim⁡a→1h(a)a−1=lim⁡a→1(ln⁡aa−1−2a)=lim⁡a→1ln⁡aa−1−2=lim⁡x→0ln⁡(1+x)x−2=lim⁡x→0ln⁡(1+x)1x−2\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to1}\frac{h(a)}{a-1}&=\lim_{a\to1}\left(\frac{\ln a}{a-1}-\frac2a\right)=\lim_{a\to1}\frac{\ln a}{a-1}-2\\&=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}-2\\&=\lim_{x\to0}\ln(1+x)^{\frac1x}-2\end{aligned}

+2점 · lim⁡a→1h(a)a−1=−1\displaystyle \lim_{a\to1}\frac{h(a)}{a-1}=-1 도출

따라서 <제시문 2>에 의해서lim⁡a→1h(a)a−1=ln⁡e−2=−1\displaystyle \lim_{a\to1}\frac{h(a)}{a-1}=\ln e-2=-1임을 알수 있다.

+2점 · k′(a)=a3/2−a+2a2\displaystyle k^{\prime}(a)=\frac{a^{3/2}-a+2}{a^{2}} 임을 보인다.
+3점 · a>1\displaystyle a>1이므로 k′(a)=a(a−1)+2a2>0\displaystyle k^{\prime}(a)=\frac{a(\sqrt{a}-1)+2}{a^{2}}>0 임을 보인다.

[수학2-ⅳ]k(a)=2a−h(a)=2a−ln⁡a−2a+2\displaystyle k(a)=2\sqrt{a}-h(a)=2\sqrt{a}-\ln a-\frac2a+2라 두자. a>1\displaystyle a>1 이므로k′(a)=a3/2−a+2a2=a(a−1)+2a2>0\displaystyle k^{\prime}(a)=\frac{a^{3/2}-a+2}{a^{2}}=\frac{a(\sqrt{a}-1)+2}{a^{2}}>0

+1점 · k(1)>0\displaystyle k(1)>0임을 보인다.

그런데k(1)=2>0\displaystyle k(1)=2>0이므로k(a)=2a−h(a)>0\displaystyle k(a)=2\sqrt{a}-h(a)>0이다.따라서 h(a)<2a\displaystyle h(a)<2\sqrt{a}

+3점 · ln⁡2−1a≤h(a)a<2a\displaystyle \frac{\ln2-1}{a}\le\frac{h(a)}{a}<\frac2{\sqrt{a}} 을 보인다.

[수학2-ⅴ] [수학1-ⅱ]와 [수학1-ⅳ]의 결과로부터Correction. 참조한 문항 번호는 [수학2-ⅱ]와 [수학2-ⅳ]다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.ln⁡2−1≤h(a)<2a\displaystyle \ln2-1\le h(a)<2\sqrt{a}임을 알 수 있다.양변을 a\displaystyle a로 나누면ln⁡2−1a≤h(a)a<2a\displaystyle \frac{\ln2-1}{a}\le\frac{h(a)}a<\frac2{\sqrt{a}}

+3점 · lim⁡a→∞ln⁡2−1a=lim⁡a→∞2a=0\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{\ln2-1}{a}=\lim_{a\to\infty}\frac2{\sqrt{a}}=0임을 보인다.

그런데lim⁡a→∞ln⁡2−1a=lim⁡a→∞2a=0\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{\ln2-1}{a}=\lim_{a\to\infty}\frac2{\sqrt{a}}=0이므로 <제시문 3>에 의해서 lim⁡a→∞h(a)a=0\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{h(a)}a=0을 얻는다.

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