자연계 3교시 수학1

[수학1-ⅰ]도형 $\displaystyle D$의 넓이 $\displaystyle S_{D}$는$\displaystyle S_{D}=\int_{0}^{2}(-x^{2}+4)\,dx=\Biggl[-\frac13x^{3}+4x\Biggr]_{0}^{2}=\frac{16}{3}$점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,0)$와 $\displaystyle \mathrm{B}(0,b)$를 지나고 도형 $\displaystyle D$의 넓이를 이등분하는 직선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ (단, $\displaystyle 0<a\le2$, $\displaystyle 0<b\le4$)이고, 여기서 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 다음의 관계식을 만족한다.$\displaystyle ab=\frac{16}{3}$　…… ①왜냐하면, 직선 $\displaystyle l$이 도형 $\displaystyle D$의 넓이 $\displaystyle S_{D}$를 이등분한다는 조건으로부터 직선 $\displaystyle l$ 및 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 $\displaystyle \frac12 S_{D}$와 같아야 하기 때문이다. 즉, $\displaystyle \frac12 ab=\frac12 S_{D}$이다.

[수학1-ⅱ]점 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$은 직선 $\displaystyle l_{1}$ 위의 점 중에서 원점과의 거리가 최소인 점이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$는 원점을 지나고 직선 $\displaystyle l_{1}$에 수직인 직선과 직선 $\displaystyle l_{1}$과의 교점이다. 이 때 원점을 지나고 직선 $\displaystyle l_{1}:y=-3x+4$에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac13x$이므로, 직선 $\displaystyle l_{1}$과의 교점을 구하면 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$은 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{C}_{1}\left(\frac65,\frac25\right)$위와 같은 방법으로 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$는 원점을 지나고 직선 $\displaystyle l_{2}$에 수직인 직선과 직선 $\displaystyle l_{2}$와의 교점이다. 원점을 지나고 직선 $\displaystyle l_{2}:y=-\frac43x+\frac83$에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac34x$이므로, 직선 $\displaystyle l_{2}$와의 교점을 구하면 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{C}_{2}\left(\frac{32}{25},\frac{24}{25}\right)$점 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$과 직선 $\displaystyle y=\frac34x$ 사이의 거리를 $\displaystyle h$라고 하고 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}_{2}$의 길이를 $\displaystyle d$라고 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OC}_{1}\mathrm{C}_{2}$의 넓이 $\displaystyle S_{\triangle}$는 다음과 같다.$\displaystyle S_{\triangle}=\frac12dh$이때 점 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}\left(\frac65,\frac25\right)$와 직선 $\displaystyle 3x-4y=0$ 사이의 거리 $\displaystyle h$는$\displaystyle h=\frac{\left|3\frac65-4\frac25\right|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac25$선분 $\displaystyle \mathrm{OC}_{2}$의 길이 $\displaystyle d$는$\displaystyle d=\sqrt{\left(\frac{32}{25}\right)^{2}+\left(\frac{24}{25}\right)^{2}}=\frac85$그러므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OC}_{1}\mathrm{C}_{2}$의 넓이는 $\displaystyle \frac8{25}$이다.

[수학1-ⅲ]포물선 $\displaystyle y=-x^{2}+4$를 $\displaystyle x$축 방향으로 $\displaystyle m$만큼 $\displaystyle y$축 방향으로 $\displaystyle n$만큼 평행이동한 포물선 $\displaystyle F$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y-n=-(x-m)^{2}+4$포물선 $\displaystyle F$가 직선 $\displaystyle l_{1}$에 접한다는 조건으로부터 $\displaystyle m$, $\displaystyle n$이 만족해야 하는 관계식을 얻기 위해서, 직선 $\displaystyle l_{1}$의 방정식 $\displaystyle y=-3x+4$를 포물선의 방정식에 대입하여 얻은 이차방정식$\displaystyle x^{2}-(2m+3)x+(m^{2}-n)=0$　…… Ⓐ의 판별식을 $\displaystyle D_{1}$이라 하면,$\displaystyle D_{1}=12m+4n+9=0$　…… ①같은 방법으로 포물선 $\displaystyle F$가 직선 $\displaystyle l_{2}$에 접한다는 조건으로부터 $\displaystyle m$, $\displaystyle n$이 만족하는 관계식을 얻기 위해서, 직선 $\displaystyle l_{2}$의 방정식 $\displaystyle y=-\frac43x+\frac83$을 포물선의 방정식에 대입하여 얻은 이차방정식$\displaystyle x^{2}-\left(2m+\frac43\right)x+\left(m^{2}-n-\frac43\right)=0$　…… Ⓑ의 판별식을 $\displaystyle D_{2}$라 하면,$\displaystyle D_{2}=\frac49(12m+9n+16)=0$　…… ②포물선 $\displaystyle F$가 직선 $\displaystyle l_{1}$과 $\displaystyle l_{2}$에 동시에 접하기 위한 $\displaystyle m$, $\displaystyle n$의 값은 1차방정식 ①, ②를 동시에 만족해야 하므로, 구하고자 하는 상수 $\displaystyle m$, $\displaystyle n$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle m=-\frac{17}{60}$,　$\displaystyle n=-\frac75$

[수학1-ⅳ]포물선 $\displaystyle F$ 및 직선 $\displaystyle l_{1}$과 $\displaystyle l_{2}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_{F}$라고 하자. 포물선 $\displaystyle F$와 직선 $\displaystyle l_{1}$의 접점의 $\displaystyle x$좌표의 값을 $\displaystyle x_{1}$라고 하면, $\displaystyle x_{1}$는 [수학1-ⅲ]의 2차방정식 Ⓐ의 중근이므로$\displaystyle x_{1}=\frac12(2m+3)=\frac{73}{60}$같은 방법으로 포물선 $\displaystyle F$와 직선 $\displaystyle l_{2}$의 접점의 $\displaystyle x$좌표의 값을 $\displaystyle x_{2}$라고 하면, $\displaystyle x_{2}$는 2차방정식 Ⓑ의 중근이므로$\displaystyle x_{2}=\frac12\left(2m+\frac43\right)=\frac{23}{60}$이 때, 직선 $\displaystyle l_{1}$과 직선 $\displaystyle l_{2}$의 교점의 $\displaystyle x$좌표의 값이 $\displaystyle \frac45$이므로, 구하고자 하는 도형의 넓이 $\displaystyle S_{F}$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S_{F}&=\int_{\frac{23}{60}}^{\frac45}\left(x-\frac{23}{60}\right)^{2}dx+\int_{\frac45}^{\frac{73}{60}}\left(x-\frac{73}{60}\right)^{2}dx\\&=\Biggl[\frac13\left(x-\frac{23}{60}\right)^{3}\Biggr]_{\frac{23}{60}}^{\frac45}+\Biggl[\frac13\left(x-\frac{73}{60}\right)^{3}\Biggr]_{\frac45}^{\frac{73}{60}}\\&=\frac{125}{5184}+\frac{125}{5184}=\frac{125}{2592}\end{aligned}$