자연계 2교시 수학1

원 $\displaystyle C$의 중심과 포물선 $\displaystyle P$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{B}(x,x^{2})$ 사이의 거리의 제곱을 $\displaystyle f(x)$라고 하면, 함수 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(x)=(x-12)^{2}+\left(x^{2}-\frac{15}{2}\right)^{2}=x^{4}-14x^{2}-24x+\frac{801}{4}$원 $\displaystyle C$의 중심과 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 사이의 거리가 항상 원 $\displaystyle C$의 반지름보다 큼을 보이기 위해서, 함수 $\displaystyle f(x)$의 최솟값이 원 $\displaystyle C$의 반지름의 제곱보다 큼을 보이면 된다. 이에 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수를 이용하여 아래와 같이 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타낸다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^{3}-28x-24=4(x+2)(x+1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서$\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=3$

그러므로 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{333}{4}$이다. 따라서, 원 $\displaystyle C$의 중심과 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 사이의 거리의 최솟값$\displaystyle \sqrt{\frac{333}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{37}$은 원의 반지름 $\displaystyle 6$보다 크다.

원 $\displaystyle C$ 밖에 있는 포물선 $\displaystyle P$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 주어지면, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 원 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 사이의 거리가 최소가 되도록 하는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 원 $\displaystyle C$의 중심을 지나는 직선 위에 있고, 그 거리는 점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 원 $\displaystyle C$의 중심 사이의 거리에서 원 $\displaystyle C$의 반지름을 뺀 것과 같다. 따라서, 임의의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$ 사이의 거리가 최소가 되도록 하는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{B}$는 다음과 같이 구할 수 있다. 먼저 포물선 $\displaystyle P$ 위의 점 중에서 원 $\displaystyle C$의 중심과의 거리가 최소인 점이 구하고자 하는 점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 된다. 이 점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 원 $\displaystyle C$의 중심을 지나는 직선을 $\displaystyle l$이라고 하면, 직선 $\displaystyle l$과 원 $\displaystyle C$의 두 교점 중 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에 가까운 점이 구하고자 하는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$가 된다. 앞의 [수학1-ⅰ]로부터 점 $\displaystyle \mathrm{B}(x,x^{2})$와 원 $\displaystyle C$의 중심 사이의 거리가 최소가 되도록 하는 점 $\displaystyle \mathrm{B}$는 $\displaystyle (3,9)$이다. 그리고 점 $\displaystyle \mathrm{B}(3,9)$과 원 $\displaystyle C$의 중심 $\displaystyle \left(12,\frac{15}{2}\right)$을 지나는 직선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle y=-\frac16 x+\frac{19}{2}$이다. 또한 직선 $\displaystyle l$과 원 $\displaystyle C:(x-12)^{2}+\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=36$과의 두 교점$\displaystyle \left(12+\frac{36}{\sqrt{37}},\frac{15}{2}-\frac{6}{\sqrt{37}}\right)$ 또는 $\displaystyle \left(12-\frac{36}{\sqrt{37}},\frac{15}{2}+\frac{6}{\sqrt{37}}\right)$중 점 $\displaystyle \mathrm{B}(3,9)$에 가까운 점은 $\displaystyle \left(12-\frac{36}{\sqrt{37}},\frac{15}{2}+\frac{6}{\sqrt{37}}\right)$이다.

즉, 구하고자 하는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 $\displaystyle \left(12-\frac{36}{\sqrt{37}},\frac{15}{2}+\frac{6}{\sqrt{37}}\right)$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$는 $\displaystyle (3,9)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{B}(3,9)$에서 원 $\displaystyle C:(x-12)^{2}+\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=36$에 그은 접선은 점 $\displaystyle \mathrm{B}(3,9)$를 지나므로 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y=m(x-3)+9$　또는　$\displaystyle x=3$직선의 방정식 $\displaystyle y=m(x-3)+9$를 원 $\displaystyle C$의 방정식에 대입하여 얻은 이차방정식$\displaystyle (m^{2}+1)x^{2}-3(2m^{2}-m+8)x+\left(9m^{2}-9m+\frac{441}{4}\right)=0$의 판별식을 $\displaystyle D$라 하면, $\displaystyle D=-9(20m^{2}+12m-15)=0$에서$\displaystyle m=\frac{1}{10}(-3\pm2\sqrt{21})$한편 직선 $\displaystyle x=3$과 원 $\displaystyle C$는 만나지 않는다. 그러므로 구하고자 하는 두 접선의 방정식은$\displaystyle y=\frac{1}{10}(-3\pm2\sqrt{21})(x-3)+9$

두 접선의 방정식이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라고 하며, $\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}$의 값은 원 $\displaystyle C$의 반지름 $\displaystyle r=6$을 점 $\displaystyle \mathrm{B}(3,9)$에서 원 $\displaystyle C$의 중심 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}$ 사이의 거리 $\displaystyle r^{\prime}=\overline{\mathrm{BO}^{\prime}}=\sqrt{\frac{333}{4}}=\frac32\sqrt{37}$으로 나눈 값이다. 즉,$\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}=\frac{r}{r^{\prime}}=\frac4{\sqrt{37}}$따라서 $\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{1-\sin^{2}\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{21}{37}}$이고, 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면$\displaystyle \sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=\frac8{37}\sqrt{21}$