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자연계 1교시 1번

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성균관대 2023학년도 수시 자연계 1교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2023su/jayeongyo1_1

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문제

[문제 1] 다음 <제시문 1> ~ <제시문 4>를 읽고 [문제 1-ⅰ] ~ [문제 1-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문1〉좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm{A}(x_{1},y_{1}), B(x2,y2)\displaystyle \mathrm{B}(x_{2},y_{2}) 사이의 거리는 다음과 같다.AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}

〈제시문2〉중심의 좌표가 (a,b)\displaystyle (a,b)이고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 원의 방정식은 다음과 같다.(x−a)2+(y−b)2=r2\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

〈제시문3〉두 직선 y=mx+n\displaystyle y=mx+n, y=m′x+n′\displaystyle y=m^{\prime}x+n^{\prime}에서 mm′=−1\displaystyle mm^{\prime}=-1이면 두 직선은 서로 수직이다.

〈제시문4〉원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1\displaystyle 1인 원을 C\displaystyle C라 한다. −1<x<0\displaystyle -1<x<0에서 정의된 곡선 y=(x+1)2\displaystyle y=(x+1)^{2} 위의 점 P\displaystyle \mathrm{P}에서의 접선을 L\displaystyle L이라 하자. 또한, 점 P\displaystyle \mathrm{P}를 지나고 x\displaystyle x축에 평행한 직선이 원 C\displaystyle C와 만나는 두 점 중, x\displaystyle x좌표가 음수인 점을 A\displaystyle \mathrm{A}, x\displaystyle x좌표가 양수인 점을 B\displaystyle \mathrm{B}라고 한다.

[문제 1-ⅰ] 〈제시문 4〉에서 정의된 점 P\displaystyle \mathrm{P}와 직선 L\displaystyle L에 대해서, 원점 O\displaystyle \mathrm{O}와 점 P\displaystyle \mathrm{P}를 연결하는 직선의 기울기가 −12\displaystyle -\frac{1}{2}일 때, 직선 L\displaystyle L이 원 C\displaystyle C와 만나는 두 점을 E,F\displaystyle \mathrm{E},\mathrm{F}라 하자. EF‾2\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^{2}을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅱ] 〈제시문 4〉에서 정의된 점 P\displaystyle \mathrm{P}와 직선 L\displaystyle L에 대해서, OP‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}가 최소가 될 때 직선 L\displaystyle L과 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}가 수직임을 보이고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅲ] 〈제시문 4〉에서 정의된 점 P,A,B\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{A},\mathrm{B}와 직선 L\displaystyle L에 대해서, AP‾×PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{PB}}가 최댓값을 가질 때 직선 L\displaystyle L과 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}가 수직임을 보이고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2023학년도 수시 자연계 1교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2023su/jayeongyo1_1

[문제 1-ⅰ]

+10점 · 직선과 곡선의 교점에서의 접선이 원과 만나는 두 점의 거리를 근과 계수의 관계를 이용하여 구할 수 있다.

원점 O\displaystyle \mathrm{O}와 점 P\displaystyle \mathrm{P}를 지나는 직선의 방정식 y=−12x\displaystyle y=-\frac{1}{2}x과 곡선 y=(x+1)2\displaystyle y=(x+1)^{2} 연립하면−12x=(x+1)2\displaystyle -\frac{1}{2}x=(x+1)^{2}이를 정리하면2x2+5x+2=0\displaystyle 2x^{2}+5x+2=0이다. 두 개의 해 중 −1<x<0\displaystyle -1<x<0을 만족하는 해는x=−12\displaystyle x=-\frac{1}{2}따라서P(−12,14)\displaystyle \mathrm{P}\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)이고 P\displaystyle \mathrm{P}를 지나는 접선의 방정식은y=2(−12+1)(x+12)+14=x+34\displaystyle y=2\left(-\frac{1}{2}+1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}=x+\frac{3}{4}이를 원의 방정식에 대입하면32x2+24x−7=0\displaystyle 32x^{2}+24x-7=0

이 방정식의 두 근을 α,β (α<β)\displaystyle \alpha,\beta\ (\alpha<\beta)라 하면 근과 계수의 공식에 의해α+β=−34, αβ=−732\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{3}{4},\ \alpha\beta=-\frac{7}{32}만족하고 점 E,F\displaystyle \mathrm{E},\mathrm{F}는E=(α,−1−α2),F=(β,1−β2)\displaystyle \mathrm{E}=\left(\alpha,-\sqrt{1-\alpha^{2}}\right),\quad\mathrm{F}=\left(\beta,\sqrt{1-\beta^{2}}\right)가 된다. 따라서EF‾2=(α−β)2+(1−α2+1−β2)2=2−2αβ+21−α2−β2+α2β2=2−2αβ+21−(α+β)2+2αβ+α2β2=2−2(−732)+21−(−34)2+2(−732)+(−732)2=238\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{EF}}^{2} &=(\alpha-\beta)^{2}+\left(\sqrt{1-\alpha^{2}}+\sqrt{1-\beta^{2}}\right)^{2} \\ &=2-2\alpha\beta+2\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}+\alpha^{2}\beta^{2}} \\ &=2-2\alpha\beta+2\sqrt{1-(\alpha+\beta)^{2}+2\alpha\beta+\alpha^{2}\beta^{2}} \\ &=2-2\left(-\frac{7}{32}\right)+2\sqrt{1-\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}+2\left(-\frac{7}{32}\right)+\left(-\frac{7}{32}\right)^{2}} \\ &=\frac{23}{8} \end{aligned}

[문제 1-ⅱ]

+10점 · 원점 O\displaystyle \mathrm{O}과 곡선 위의 한 점 사이의 거리가 최소가 될 때 직선 L\displaystyle L과 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}가 수직임을 보일 수 있다.

P(p,(p+1)2) (−1<p<0)\displaystyle \mathrm{P}(p,(p+1)^{2})\ (-1<p<0) 이라 하면OP‾2=p2+(p+1)4=p4+4p3+7p2+4p+1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}^{2}=p^{2}+(p+1)^{4}=p^{4}+4p^{3}+7p^{2}+4p+1이다. 따라서 −1<p<0\displaystyle -1<p<0에서 정의된 함수 g(p)\displaystyle g(p)를g(p)=p2+(p+1)4=p4+4p3+7p2+4p+1\displaystyle g(p)=p^{2}+(p+1)^{4}=p^{4}+4p^{3}+7p^{2}+4p+1로 정의하고 함수 g(p)\displaystyle g(p)의 최솟값을 조사하면 된다. 함수 g(p)\displaystyle g(p)를 미분하면g′(p)=4p3+12p2+14p+4\displaystyle g^{\prime}(p)=4p^{3}+12p^{2}+14p+4이는g′(p)=4(p+1)3+2p\displaystyle g^{\prime}(p)=4(p+1)^{3}+2p로 적을 수 있다. 따라서y=4(p+1)3,y=−2p\displaystyle y=4(p+1)^{3},\quad y=-2p의 교점에서 g′(p)=0\displaystyle g^{\prime}(p)=0가 됨을 알 수 있다.오른쪽 그림과 같이 두 곡선과 직선의 그래프를 고려하면4(α+1)3=−2α\displaystyle 4(\alpha+1)^{3}=-2\alpha인 0<α<1\displaystyle 0<\alpha<1가 유일하게 존재함을 알 수 있다.Correction. 풀이에서 4(α+1)3=−2α\displaystyle 4(\alpha+1)^3=-2\alpha를 만족하는 α\displaystyle \alpha의 범위는 0<α<1\displaystyle 0<\alpha<1이 아니라 −1<α<0\displaystyle -1<\alpha<0이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

곡선 y=4(p+1)³과 직선 y=−2p를 한 좌표평면에 그린 그림. 두 그래프가 x좌표 α에서 만난다.

이로부터 함수의 증감을 조사하면pαg′(p)−0+g(p)↘g(α)↗\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & & \alpha & \\ \hline g^{\prime}(p) & - & 0 & + \\ \hline g(p) & \searrow & g(\alpha) & \nearrow \\ \hline \end{array}따라서 g(p)\displaystyle g(p)는 α\displaystyle \alpha에서 최소가 되고 α\displaystyle \alpha는α=−2(α+1)3——- (1)\displaystyle \alpha=-2(\alpha+1)^{3}\qquad\text{------- (1)}을 만족한다.

직선 L\displaystyle L의 기울기는 2(α+1)\displaystyle 2(\alpha+1)이고 직선 OP\displaystyle \mathrm{OP}의 기울기는0−(α+1)20−α=(α+1)2α\displaystyle \frac{0-(\alpha+1)^{2}}{0-\alpha}=\frac{(\alpha+1)^{2}}{\alpha}이므로 (1)을 사용하면 L\displaystyle L의 기울기와 직선 OP\displaystyle \mathrm{OP}의 기울기의 곱은2(α+1)×(α+1)2α=2(α+1)3α=−1\displaystyle 2(\alpha+1)\times\frac{(\alpha+1)^{2}}{\alpha}=\frac{2(\alpha+1)^{3}}{\alpha}=-1이다. 따라서 직선 L\displaystyle L과 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}는 수직이다.

[문제 1-ⅲ]

+10점 · AP‾×PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{PB}}가 최댓값을 가질 때 직선 L\displaystyle L과 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}가 수직임을 보일 수 있다.

점 P(p,(p+1)2)\displaystyle \mathrm{P}(p,(p+1)^{2}) 라 두면 A,B\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B} 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.A(−1−(p+1)4,(p+1)2),B(1−(p+1)4,(p+1)2)\displaystyle \mathrm{A}\left(-\sqrt{1-(p+1)^{4}},(p+1)^{2}\right),\quad\mathrm{B}\left(\sqrt{1-(p+1)^{4}},(p+1)^{2}\right)따라서AP‾×PB‾=(p+1−(1+p)4)(1−(1+p)4−p)=1−p2−(1+p)4=1−OP‾2\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{PB}} &=\left(p+\sqrt{1-(1+p)^{4}}\right)\left(\sqrt{1-(1+p)^{4}}-p\right) \\ &=1-p^{2}-(1+p)^{4} \\ &=1-\overline{\mathrm{OP}}^{2} \end{aligned}이로부터 AP‾×PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{PB}}가 최대가 될 때는 OP‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}가 최소가 될 때 임을 알 수 있다. 따라서 [문제 1-ⅱ]에 의해 AP‾×PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{PB}}가 최댓값을 가질 때 직선 L\displaystyle L과 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}가 수직이다.

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