자연계 2교시 3번

[문제 3-ⅰ]

[문제 3-ⅱ]

(1) $\displaystyle t\ge0$인 경우아래 그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{R},\mathrm{S}$라 하자. (선분 $\displaystyle \mathrm{OQ}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$의 기울기에 따라 두 가지 경우가 있다.)

위의 그림에서 볼 수 있듯이 넓이 $\displaystyle p(h)$는 $\displaystyle \triangle\mathrm{OPR}+r$과 $\displaystyle \triangle\mathrm{OQS}$의 차이와 같으므로 $\displaystyle p(h)=|\triangle\mathrm{OQS}-\triangle\mathrm{OPR}-r|$이다. 또한 $\displaystyle t\ge0$이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{OPR}=\frac{1}{2}tf(t)$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{OQS}=\frac{1}{2}(t+h)f(t+h)$이 되어 $\displaystyle p(h)=\left|\frac{1}{2}(t+h)f(t+h)-\frac{1}{2}tf(t)-r\right|$을 얻는다.

(2) $\displaystyle t<0$인 경우경우 (1)과 마찬가지로 아래와 같은 그림을 생각하자.

위의 그림에서 볼 수 있듯이 $\displaystyle p(h)$는 $\displaystyle \triangle\mathrm{OQS}+r$과 $\displaystyle \triangle\mathrm{OPR}$의 차이와 같으므로 $\displaystyle p(h)=|\triangle\mathrm{OPR}-\triangle\mathrm{OQS}-r|$이다. 또한 $\displaystyle t<0$이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{OPR}=-\frac{1}{2}tf(t)$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{OQS}=-\frac{1}{2}(t+h)f(t+h)$이 되어 경우 (1)과 똑같은 식인 $\displaystyle p(h)=\left|\frac{1}{2}(t+h)f(t+h)-\frac{1}{2}tf(t)-r\right|$을 얻는다.

위의 두 가지 경우로부터 항상$\displaystyle p(h)=\left|\frac{1}{2}(t+h)f(t+h)-\frac{1}{2}tf(t)-r\right|=\left|\frac{t}{2}(f(t+h)-f(t))+\frac{h}{2}f(t+h)-\int_{t}^{t+h}f(x)dx\right|$이 되고 따라서$\displaystyle A(t)=\lim_{h\to0+}\frac{p(h)}{h}=\lim_{h\to0+}\left|\frac{t}{2}\cdot\frac{f(t+h)-f(t)}{h}+\frac{f(t+h)}{2}-\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}f(x)dx\right|$을 얻는다. 도함수의 정의에 의해 $\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=f^{\prime}(t)$이고 $\displaystyle f(x)$는 연속이므로 $\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{f(t+h)}{2}=\frac{f(t)}{2}$이다. 또한 $\displaystyle F(x)$를 $\displaystyle f(x)$의 한 부정적분이라 하면$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}f(x)dx=\lim_{h\to0+}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}=F^{\prime}(t)=f(t)$가 된다. 따라서$\displaystyle A(t)=\left|\frac{t}{2}f^{\prime}(t)+\frac{1}{2}f(t)-f(t)\right|=\frac{1}{2}\left|tf^{\prime}(t)-f(t)\right|$을 얻는다.

[문제 3-ⅲ]

+14점 · 미분불가능한 점을 판별하고 극대 극소를 통해 다항함수의 식을 찾을 수 있다.

편의상 $\displaystyle g(t)=\frac{1}{2}(tf^{\prime}(t)-f(t))$라 하자. 그러면 $\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 이므로 $\displaystyle g(t)=at^{3}+\frac{b}{2}t^{2}-\frac{d}{2}$이다. 또한 $\displaystyle A(t)=|g(t)|$이므로 $\displaystyle A(t)=0$와 $\displaystyle g(t)=0$은 같은 근을 갖고 문제의 조건에 따라 $\displaystyle g(t)=0$도 두 개의 실근 $\displaystyle \alpha,\beta$를 갖는다. $\displaystyle g(t)$는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이고 근을 두 개 가지므로 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프의 개형이 아래 두 그림 중 하나가 된다.

그런데 $\displaystyle A(t)=|g(t)|$가 $\displaystyle \beta$에서 미분가능하지 않으므로 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 첫 번째 형태가 되고 $\displaystyle y=A(x)$의 그래프는 아래와 같이 그려진다.

따라서 $\displaystyle g(t)=a(t-\alpha)^{2}(t-\beta)=a(t^{3}-(2\alpha+\beta)t^{2}+(\alpha^{2}+2\alpha\beta)t-\alpha^{2}\beta)$로 쓸 수 있다. 이 식의 일차항과 $\displaystyle g(t)=at^{3}+\frac{b}{2}t^{2}-\frac{d}{2}$의 일차항을 비교하면 $\displaystyle a(\alpha^{2}+2\alpha\beta)=0$을 얻는다. 또한 두 식의 상수항을 비교해 보면 $\displaystyle a\alpha^{2}\beta=\frac{d}{2}>0$이므로 $\displaystyle a\alpha\ne0$이고 따라서 $\displaystyle a(\alpha^{2}+2\alpha\beta)=0$의 양변을 $\displaystyle a\alpha$로 나누어 $\displaystyle \alpha=-2\beta$를 얻는다.

위의 $\displaystyle y=A(x)$의 그래프를 보면 $\displaystyle A(t)$는 유일한 극댓값을 가지고 이 극댓값은 $\displaystyle \alpha<t<\beta$ 범위에서 얻어지므로 $\displaystyle g(t)$은 이 범위에서 극솟값 $\displaystyle -16$을 갖는다. 이 극솟값은 $\displaystyle t=\frac{\alpha+2\beta}{3}=0$에서 얻어지므로 $\displaystyle g(0)=-a\alpha^{2}\beta=-4a\beta^{3}=-16$, 즉 $\displaystyle a\beta^{3}=4$를 얻는다.조건 $\displaystyle \int_{0}^{2\beta}A(t)dt=38$에서 $\displaystyle \int_{0}^{2\beta}A(t)dt=\int_{0}^{2\beta}|g(t)|dt=-\int_{0}^{\beta}g(t)dt+\int_{\beta}^{2\beta}g(t)dt$이다. 그런데 $\displaystyle g(t)=a(t+2\beta)^{2}(t-\beta)=a(t^{2}+4\beta t+\beta^{2})(t-\beta)=a(t^{3}+3\beta t^{2}-4\beta^{3})$이므로Correction. $\displaystyle (t+2\beta)^2$을 전개한 식의 $\displaystyle \beta^2$은 $\displaystyle 4\beta^2$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle -\int_{0}^{\beta}g(t)dt+\int_{\beta}^{2\beta}g(t)dt=-a\Biggl[\frac{t^{4}}{4}+\beta t^{3}-4\beta^{3}t\Biggr]_{0}^{\beta}+a\Biggl[\frac{t^{4}}{4}+\beta t^{3}-4\beta^{3}t\Biggr]_{\beta}^{2\beta}=\frac{19a\beta^{4}}{2}=38$이 되어 $\displaystyle a\beta^{4}=4$을 얻는다. 이 식과 위에서 찾은 식 $\displaystyle a\beta^{3}=4$을 이용하면 $\displaystyle \beta=1$과 $\displaystyle a=4$, 그리고 $\displaystyle \alpha=-2\beta=-2$가 된다.

[문제 3-ⅳ]