자연계 2교시 2번

〈제시문 1〉로부터 다음을 알 수 있다. (단, $\displaystyle k$는 정수)$\displaystyle \cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)=\begin{cases}\cos x & n=4k\text{ 일때} \\ \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x & n=4k+1\text{ 일때} \\ \cos(x+\pi)=-\cos x & n=4k+2\text{ 일때} \\ \cos\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin x & n=4k+3\text{ 일때}\end{cases}$또한$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{4}\text{ 일 때 }\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos x<1,\ -\frac{\sqrt{2}}{2}<-\sin x<0,\ -1<-\cos x<-\frac{\sqrt{2}}{2},\ 0<\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad(\*)$이고 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=0.707\cdots$ 이므로 주어진 식 $\displaystyle \cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)=\frac{1}{4}$이 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{4}$에서 해를 가지려면 $\displaystyle n=4k+3$ ($\displaystyle k$는 정수)를 만족해야 한다. 따라서 조건을 만족하는 양의 정수 $\displaystyle n$의 개수는 $\displaystyle 1\le4k+3\le2023$을 만족하는 정수의 개수와 같으므로 정답은 $\displaystyle 506$이다.

위의 식에 의해 $\displaystyle \cos\left(x+\frac{m\pi}{2}\right)$와 $\displaystyle \cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$는 각각 $\displaystyle \pm\cos x$, $\displaystyle \pm\sin x$ 중의 하나와 같다. 따라서 $\displaystyle t=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$라 하면 $\displaystyle \cos^{2}\left(x+\frac{m\pi}{2}\right)$은 $\displaystyle \cos^{2}x$ 또는 $\displaystyle \sin^{2}x$이므로 $\displaystyle t^{2}$ 또는 $\displaystyle 1-t^{2}$이 된다.

편의상 $\displaystyle t=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$, $\displaystyle f(t)=8t^{4}-7t^{2}+3t-1$라 하자. 그러면 $\displaystyle t$는 $\displaystyle -1\le t\le1$을 만족하고 주어진 식은 $\displaystyle f(t)=0$로 표현된다. 이 식의 해가 존재하는지 판별하기 위해 함수 $\displaystyle y=f(t)\ (-1\le t\le1)$의 그래프의 개형을 알아보자. 이를 위해 우리는 $\displaystyle f^{\prime}(t)$의 근을 구해야 한다. 만약 $\displaystyle f^{\prime}(t)=32t^{3}-14t+3$이 인수분해가 된다면 최고차항의 약수 $\displaystyle a$와 상수항의 약수 $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(t)$가 $\displaystyle at-b$로 나누어 질 것이다. 여기서 $\displaystyle a=2$, $\displaystyle b=1$로 두면 $\displaystyle f^{\prime}(b/a)=f^{\prime}(1/2)=4-7+3=0$이므로 실제로 $\displaystyle f^{\prime}(t)$는 $\displaystyle 2t-1$로 나누어진다. 다항식의 나눗셈을 이용하여 우리는$\displaystyle f^{\prime}(t)=32t^{3}-14t+3=(2t-1)(4t^{2}+4t-3)=(2t-1)(4t+3)(4t-1)$Correction. 인수분해한 중간 식의 $\displaystyle 4t^2+4t-3$은 $\displaystyle 16t^2+8t-3$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 얻을 수 있다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(t)$의 근은 $\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle f(t)$는 최고차항의 계수가 양수인 사차함수이므로 $\displaystyle f(t)$는 구간 $\displaystyle \left(-\infty,-\frac{3}{4}\right]$에서 감소, 구간 $\displaystyle \left[-\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right]$에서 증가, 구간 $\displaystyle \left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]$에서 감소, 구간 $\displaystyle \left[\frac{1}{2},\infty\right)$에서 증가한다. 또한$\displaystyle f(-1)=8-7-3-1=-3<0,\ f\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{8\cdot3^{4}}{4^{4}}-\frac{7\cdot9}{16}-\frac{9}{4}-1<0,\ f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{8}{4^{4}}-\frac{7}{16}+\frac{3}{4}-1<0,$$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{7}{4}+\frac{3}{2}-1<0,\ f(1)=8-7+3-1=3>0$이므로 함수 $\displaystyle y=f(t)$의 그래프는 아래와 같이 그려진다.