자연계 2교시 1번

[문제 1-ⅰ]

[문제 1-ⅱ]

(가) 먼저 $\displaystyle r=1$일 때, $\displaystyle a=b=c$는 등비수열을 이루므로, $\displaystyle 1\le a=b=c\le100$의 총 $\displaystyle 100$가지 경우가 존재한다.

(나) 이제 $\displaystyle r\ne1$, 즉 $\displaystyle 1<r<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$이라고 가정하자. 자연수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle ar$도 자연수이므로, $\displaystyle r=\frac{q}{p}$라고 둘 수 있다 (여기서, $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 $\displaystyle 2\le p<q$를 만족하는 서로소인 자연수). 또, $\displaystyle ar^{2}=\frac{aq^{2}}{p^{2}}$도 자연수이므로, 어떤 자연수 $\displaystyle A$에 대해 $\displaystyle a=p^{2}A$임을 알 수 있다. 이때, 문제의 조건으로부터 $\displaystyle p^{2}\le p^{2}A=a\le100$를 얻게 되고 $\displaystyle p\le10$을 얻을 수 있다. $\displaystyle p=10$인 경우, $\displaystyle a=100$이 되고 $\displaystyle b=ar>100$이 되어 가능하지 않다. 따라서, 가능한 $\displaystyle p$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle 2,3,4,5,6,7,8,9$각각의 $\displaystyle p$에 대해 $\displaystyle r=\frac{q}{p}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$를 만족하고 $\displaystyle ar^{2}=Aq^{2}\le100$이 되는 $\displaystyle q$의 값을 구한 뒤, 각각의 순서쌍 $\displaystyle (p,q)$에 대해 자연수 $\displaystyle A$는 $\displaystyle 1\le A\le\frac{100}{q^{2}}$를 만족하므로, 가능한 $\displaystyle A$의 개수를 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline (p,q) & (2,3) & (3,4) & (4,5) & (5,6) & (5,7) & (5,8) \\ \hline \text{가능한 }A\text{의 개수} & 11 & 6 & 4 & 2 & 2 & 1 \\ \hline (p,q) & (6,7) & (7,8) & (7,9) & (7,10) & (8,9) & (9,10) \\ \hline \text{가능한 }A\text{의 개수} & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$이들의 합은 $\displaystyle 33$이므로, 문제에서 구하고자 하는 삼각형의 개수는 $\displaystyle 100+33=133$가지이다.

[문제 1-ⅲ]

(가) $\displaystyle abc$ 순서대로 등비수열을 이룬다면, $\displaystyle b^{2}=ac$이다. 이로부터 $\displaystyle 4ac=4b^{2}=(a+c)^{2}$을 얻게 되고, $\displaystyle (a-c)^{2}=0$을 얻게 된다. 따라서, $\displaystyle a=b=c$이고, 이 경우의 가짓수는 $\displaystyle 200$가지이다.

(나) $\displaystyle acb$ 순서대로 등비수열을 이룬다면, $\displaystyle c^{2}=ab$이다. 이로부터 $\displaystyle a(a+c)=2ab=2c^{2}$을 얻게 되고, $\displaystyle (a-c)(a+2c)=a^{2}+ac-2c^{2}=0$이 되어, $\displaystyle a=c$ 또는 $\displaystyle a=-2c$이다. $\displaystyle a=c$인 경우, $\displaystyle a=b=c$를 얻게 되어 이미 고려되었다. $\displaystyle a=-2c$인 경우, $\displaystyle c=-2b$가 되어 $\displaystyle a:b:c=4:1:-2$가 된다. 이 경우의 가짓수는 $\displaystyle 2\times\frac{100}{4}=50$가지이다.

(다) $\displaystyle cab$ 순서대로 등비수열을 이룬다고 가정하자. $\displaystyle abc$가 등차수열을 이루므로, $\displaystyle cba$도 등차수열을 이룬다. 이 경우, (나)에 의해 $\displaystyle c:b:a=4:1:-2$가 된다. 즉, $\displaystyle a:b:c=-2:1:4$가 되어, 이 경우의 가짓수는 마찬가지로 $\displaystyle 50$가지이다.

(가), (나), (다)의 세 경우를 모두 합하면, $\displaystyle 300$개의 순서쌍이 존재함을 알 수 있다.