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자연계 2교시 1번

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성균관대 2023학년도 수시 자연계 2교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2023su/jayeongyo2_1

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[문제1] 다음 〈제시문 1〉 ~ 〈제시문 3〉을 읽고 [문제 1-ⅰ] ~ [문제 1-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문1〉첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하며, 그 일정한 수를 공차라고 한다. 공차가 d\displaystyle d인 등차수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}에서 제n\displaystyle n항에 공차 d\displaystyle d를 더하면 제(n+1)\displaystyle (n+1)항이 되므로 다음이 성립한다.an+1=an+d(n=1,2,3,⋯ )\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d\quad(n=1,2,3,\cdots)

〈제시문2〉첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하며, 그 일정한 수를 공비라고 한다. 공비가 r (r≠0)\displaystyle r\ (r\ne0)인 등비수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}에서 제n\displaystyle n항에 공비 r\displaystyle r를 곱하면 제(n+1)\displaystyle (n+1)항이 되므로 다음이 성립한다.an+1=ran(r≠0, n=1,2,3,⋯ )\displaystyle a_{n+1}=ra_{n}\quad(r\ne0,\ n=1,2,3,\cdots)

〈제시문3〉세 개의 정수로 이루어진 순서쌍의 집합 M\displaystyle M을 다음과 같이 정의하자.M={(a,b,c) ∣ a,b,c는 정수이고 1≤∣a∣,∣b∣,∣c∣≤100}\displaystyle M=\{(a,b,c)\,|\,a,b,c\text{는 정수이고 }1\le|a|,|b|,|c|\le100\}이때, 집합 M\displaystyle M의 원소의 개수는 2003\displaystyle 200^{3}이다.

[문제 1-ⅰ] 삼각형의 세 변의 길이가 각각 100\displaystyle 100 이하의 자연수이면서 등차수열을 이루는 삼각형의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오. (단, 합동인 두 삼각형은 한 개의 삼각형으로 간주한다.)

[문제 1-ⅱ] 삼각형의 세 변의 길이가 각각 100\displaystyle 100 이하의 자연수이면서 등비수열을 이루는 삼각형의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오. (단, 합동인 두 삼각형은 한 개의 삼각형으로 간주하며, 5=2.236⋯\displaystyle \sqrt{5}=2.236\cdots이다.)

[문제 1-ⅲ] 〈제시문 3〉에서 정의된 집합 M\displaystyle M의 원소 (a,b,c)\displaystyle (a,b,c) 중에서 다음의 조건을 모두 만족하는 모든 원소의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오.(가) a,b,c\displaystyle a,b,c는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.(나) a,b,c\displaystyle a,b,c를 일렬로 나열하여 적어도 한 개의 등비수열을 만들 수 있다. 예를 들어, (a,b,c)=(1,2,3)\displaystyle (a,b,c)=(1,2,3)인 경우 a,b,c\displaystyle a,b,c를 일렬로 나열하는 방법은 다음의 여섯 가지가 있다.① 1,2,3\displaystyle 1,2,3　② 1,3,2\displaystyle 1,3,2　③ 2,1,3\displaystyle 2,1,3　④ 2,3,1\displaystyle 2,3,1　⑤ 3,1,2\displaystyle 3,1,2　⑥ 3,2,1\displaystyle 3,2,1

해설강의 준비중

성균관대 2023학년도 수시 자연계 2교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2023su/jayeongyo2_1

[문제 1-ⅰ]

+8점 · 등차수열의 정의와 일반항을 활용하여, 삼각형의 세 변의 길이를 유도하고, 등차수열의 합을 계산할 수 있다.

삼각형의 세 변의 길이 a,b,c\displaystyle a,b,c가 a≤b≤c\displaystyle a\le b\le c라고 가정하고 공차가 d\displaystyle d인 등차수열의 연속하는 세 항이라고 하면, b=a+d\displaystyle b=a+d와 c=a+2d\displaystyle c=a+2d이다. 이때, 문제의 조건 c=a+2d≤100\displaystyle c=a+2d\le100로부터 a≤100−2d\displaystyle a\le100-2d를 얻는다. 또한, 삼각형의 세 변이 만족해야하는 부등식 a+b>c\displaystyle a+b>c로부터 a+(a+d)>a+2d\displaystyle a+(a+d)>a+2d를 얻을 수 있고, 2a+d≥a+2d+1\displaystyle 2a+d\ge a+2d+1이 성립한다. 따라서, 다음의 부등식을 얻는다.d+1≤a≤100−2d(\*)\displaystyle d+1\le a\le100-2d\qquad(\*)이로부터 d+1≤100−2d\displaystyle d+1\le100-2d가 성립하고, 0≤d≤33\displaystyle 0\le d\le33을 얻는다. 이를 만족하는 각각의 d\displaystyle d에 대해, (\*)를 만족하는 a\displaystyle a값의 개수는 (100−2d)−d=100−3d\displaystyle (100-2d)-d=100-3d이다.따라서, 문제의 삼각형의 개수는∑d=033(100−3d)=100×34−3×34×332=1717\displaystyle \sum_{d=0}^{33}(100-3d)=100\times34-\frac{3\times34\times33}{2}=1717이다.

[문제 1-ⅱ]

+10점 · 등비수열의 정의와 일반항을 활용하여, 삼각형의 세 변의 길이를 유도할 수 있다.

삼각형의 세 변의 길이 a,b,c\displaystyle a,b,c가 a≤b≤c\displaystyle a\le b\le c라고 가정하고 공비가 r\displaystyle r인 등비수열의 연속하는 세 항이라고 하면, 실수 r≥1\displaystyle r\ge1에 대해 b=ar\displaystyle b=ar와 c=ar2\displaystyle c=ar^{2}이다. 삼각형 세 변의 조건으로부터 부등식 a+b>c\displaystyle a+b>c를 얻는다. 이 부등식은 a+ar>ar2\displaystyle a+ar>ar^{2}이므로, r2−r−1<0\displaystyle r^{2}-r-1<0을 얻는다. 따라서, r\displaystyle r의 범위1≤r<1+52\displaystyle 1\le r<\frac{1+\sqrt{5}}{2}를 얻을 수 있다. 여기서 1+52=1.618⋯\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618\cdots이다.

(가) 먼저 r=1\displaystyle r=1일 때, a=b=c\displaystyle a=b=c는 등비수열을 이루므로, 1≤a=b=c≤100\displaystyle 1\le a=b=c\le100의 총 100\displaystyle 100가지 경우가 존재한다.

(나) 이제 r≠1\displaystyle r\ne1, 즉 1<r<1+52\displaystyle 1<r<\frac{1+\sqrt{5}}{2}이라고 가정하자. 자연수 a\displaystyle a에 대하여 ar\displaystyle ar도 자연수이므로, r=qp\displaystyle r=\frac{q}{p}라고 둘 수 있다 (여기서, p\displaystyle p와 q\displaystyle q는 2≤p<q\displaystyle 2\le p<q를 만족하는 서로소인 자연수). 또, ar2=aq2p2\displaystyle ar^{2}=\frac{aq^{2}}{p^{2}}도 자연수이므로, 어떤 자연수 A\displaystyle A에 대해 a=p2A\displaystyle a=p^{2}A임을 알 수 있다. 이때, 문제의 조건으로부터 p2≤p2A=a≤100\displaystyle p^{2}\le p^{2}A=a\le100를 얻게 되고 p≤10\displaystyle p\le10을 얻을 수 있다. p=10\displaystyle p=10인 경우, a=100\displaystyle a=100이 되고 b=ar>100\displaystyle b=ar>100이 되어 가능하지 않다. 따라서, 가능한 p\displaystyle p의 값은 다음과 같다.2,3,4,5,6,7,8,9\displaystyle 2,3,4,5,6,7,8,9각각의 p\displaystyle p에 대해 r=qp<1+52\displaystyle r=\frac{q}{p}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}를 만족하고 ar2=Aq2≤100\displaystyle ar^{2}=Aq^{2}\le100이 되는 q\displaystyle q의 값을 구한 뒤, 각각의 순서쌍 (p,q)\displaystyle (p,q)에 대해 자연수 A\displaystyle A는 1≤A≤100q2\displaystyle 1\le A\le\frac{100}{q^{2}}를 만족하므로, 가능한 A\displaystyle A의 개수를 구하면 다음과 같다.

(p,q)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(5,7)(5,8)가능한 A의 개수1164221(p,q)(6,7)(7,8)(7,9)(7,10)(8,9)(9,10)가능한 A의 개수211111\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline (p,q) & (2,3) & (3,4) & (4,5) & (5,6) & (5,7) & (5,8) \\ \hline \text{가능한 }A\text{의 개수} & 11 & 6 & 4 & 2 & 2 & 1 \\ \hline (p,q) & (6,7) & (7,8) & (7,9) & (7,10) & (8,9) & (9,10) \\ \hline \text{가능한 }A\text{의 개수} & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}이들의 합은 33\displaystyle 33이므로, 문제에서 구하고자 하는 삼각형의 개수는 100+33=133\displaystyle 100+33=133가지이다.

[문제 1-ⅲ]

+12점 · 등차수열과 등비수열이 동시에 대한 경우를 유도할 수 있다.

자연수 a,b,c\displaystyle a,b,c가 이 순서대로 등차수열의 연속하는 세 항이라고 하면, 2b=a+c\displaystyle 2b=a+c가 성립한다.Correction. [문제 1-ⅲ] 풀이 첫 문장의 ‘자연수’는 ‘0이 아닌 정수’로 써야 한다. 집합 M\displaystyle M에는 음의 정수도 포함되며, 이를 포함해 세면 답안의 300개를 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 세 수를 일렬로 나열하는 방법은 다음과 같이 6\displaystyle 6가지가 존재한다.abc, acb, bac, bca, cab, cba\displaystyle abc,\ acb,\ bac,\ bca,\ cab,\ cba이 순서대로 등비수열의 연속하는 세 항이 되는 조건을 고려하자.만약, abc\displaystyle abc가 등비수열을 이룬다면 cba\displaystyle cba도 등비수열을 이룬다. 마찬가지로 acb\displaystyle acb가 등비수열을 이룬다면 bca\displaystyle bca도 등비수열을 이루고, cab\displaystyle cab가 등비수열을 이룬다면 bac\displaystyle bac도 등비수열을 이룬다. 따라서, abc\displaystyle abc, acb\displaystyle acb, cab\displaystyle cab가 등비수열을 이루는 경우만 고려하면 된다.

(가) abc\displaystyle abc 순서대로 등비수열을 이룬다면, b2=ac\displaystyle b^{2}=ac이다. 이로부터 4ac=4b2=(a+c)2\displaystyle 4ac=4b^{2}=(a+c)^{2}을 얻게 되고, (a−c)2=0\displaystyle (a-c)^{2}=0을 얻게 된다. 따라서, a=b=c\displaystyle a=b=c이고, 이 경우의 가짓수는 200\displaystyle 200가지이다.

(나) acb\displaystyle acb 순서대로 등비수열을 이룬다면, c2=ab\displaystyle c^{2}=ab이다. 이로부터 a(a+c)=2ab=2c2\displaystyle a(a+c)=2ab=2c^{2}을 얻게 되고, (a−c)(a+2c)=a2+ac−2c2=0\displaystyle (a-c)(a+2c)=a^{2}+ac-2c^{2}=0이 되어, a=c\displaystyle a=c 또는 a=−2c\displaystyle a=-2c이다. a=c\displaystyle a=c인 경우, a=b=c\displaystyle a=b=c를 얻게 되어 이미 고려되었다. a=−2c\displaystyle a=-2c인 경우, c=−2b\displaystyle c=-2b가 되어 a:b:c=4:1:−2\displaystyle a:b:c=4:1:-2가 된다. 이 경우의 가짓수는 2×1004=50\displaystyle 2\times\frac{100}{4}=50가지이다.

(다) cab\displaystyle cab 순서대로 등비수열을 이룬다고 가정하자. abc\displaystyle abc가 등차수열을 이루므로, cba\displaystyle cba도 등차수열을 이룬다. 이 경우, (나)에 의해 c:b:a=4:1:−2\displaystyle c:b:a=4:1:-2가 된다. 즉, a:b:c=−2:1:4\displaystyle a:b:c=-2:1:4가 되어, 이 경우의 가짓수는 마찬가지로 50\displaystyle 50가지이다.

(가), (나), (다)의 세 경우를 모두 합하면, 300\displaystyle 300개의 순서쌍이 존재함을 알 수 있다.

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