자연계 1교시 3번

정사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_{n}$의 한 변의 길이를 $\displaystyle r_{n}$이라고 할 때, 다음의 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle r_{2}\tan\theta+r_{2}=r_{1}$이므로 $\displaystyle r_{2}=\left(\frac{1}{1+t}\right)r_{1}$$\displaystyle r_{3}\tan\theta+r_{3}=r_{2}$이므로 $\displaystyle r_{3}=\left(\frac{1}{1+t}\right)r_{2}$ 이런 과정을 반복하면$\displaystyle r_{4}=\left(\frac{1}{1+t}\right)r_{3}$$\displaystyle \vdots$$\displaystyle r_{n+1}=\left(\frac{1}{1+t}\right)r_{n}$따라서 수열 $\displaystyle \{r_{n}\}$의 공비는 $\displaystyle \frac{1}{1+t}$, $\displaystyle r_{1}=1$이다.그러므로 $\displaystyle r_{n}=\left(\frac{1}{1+t}\right)^{n-1}$이다.즉, $\displaystyle s_{n}=(r_{n})^{2}=\left(\frac{1}{1+t}\right)^{2n-2}$이다.

상수 $\displaystyle \alpha=\left(\frac{1}{1+t}\right)^{2}$라고 하면,$\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{2023}}{Q_{2023}}+\frac{Q_{2021}}{P_{2021}} &=\frac{1+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{2022}}{\alpha+\cdots+\alpha^{2021}}+\frac{\alpha+\cdots+\alpha^{2019}}{1+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{2020}} \\ &=\frac{1+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{2020}}{\alpha+\cdots+\alpha^{2021}}+\frac{\alpha^{2021}+(\alpha+\cdots+\alpha^{2019})}{1+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{2020}} \\ &=\frac{1}{\alpha}+\alpha \end{aligned}$임을 알 수 있다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOB}$에서 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$이므로, $\displaystyle t=\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$이고 $\displaystyle \frac{1}{1+t}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}$이다.Correction. 풀이의 ‘삼각형 AOB’는 ‘삼각형 ABC’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, $\displaystyle \alpha=\left(\frac{1}{1+t}\right)^{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$이고 $\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\alpha=5+\frac{3}{2}\sqrt{3}$이다.

[문제 3-ⅱ]에서와 같이, 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \frac{P_{2n+1}}{Q_{2n+1}}+\frac{Q_{2n-1}}{P_{2n-1}}=\alpha+\frac{1}{\alpha}$이 성립함을 알 수 있고, $\displaystyle \alpha\ne1$이므로 $\displaystyle \alpha+\frac{1}{\alpha}>2$ 임을 알 수 있다.이제 수학적 귀납법을 사용하여 다음의 명제를 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 보이자.