성균관대 2023학년도 수시 자연계 1교시 3번 해설

[문제 3] 다음 〈제시문 1〉 ~ 〈제시문 3〉을 읽고 [문제 3-ⅰ] ~ [문제 3-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문 1〉자연수 $\displaystyle n$ 에 대한 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(a) $\displaystyle n=1$ 일 때 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다.(b) $\displaystyle n=k$ 일 때 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle n=k+1$ 일 때에도 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다.

〈제시문 2〉삼각함수 사이에는 다음의 관계가 성립한다. $\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\qquad\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

〈제시문 3〉삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 는 $\displaystyle \angle\mathrm{ACB}=90^{\circ}$ 이고 $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\theta$ 인 직각삼각형이다. 오른쪽 그림과 같이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 내부에 정사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_{1},\mathrm{R}_{2},\mathrm{R}_{3},\cdots$ 을 계속해서 만들어 나간다. 이때, 정사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_{n}$ 의 넓이를 $\displaystyle s_{n}$ 이라고 하자. $\displaystyle 2$ 이상인 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 이와 같이 정의된 정사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_{1},\mathrm{R}_{2},\cdots,\mathrm{R}_{n}$ 중에서, 모든 홀수 번째 정사각형의 넓이의 합을 $\displaystyle P_{n}$ 이라 하고 모든 짝수 번째 정사각형의 넓이의 합을 $\displaystyle Q_{n}$ 이라 하자. (단, 정사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$ 의 한 변의 길이는 $\displaystyle 1$ 이다.)

직각삼각형 ABC의 내부에 정사각형 R₁, R₂, …가 오른쪽부터 차례로 작아지며 놓인 그림. 점 B에서의 각이 θ로 표시되어 있다.

[문제 3-ⅰ] 〈제시문 3〉에서 정의된 수열 $\displaystyle \{s_{n}\}$ 과 $\displaystyle t=\tan\theta$ 에 대해, 일반항 $\displaystyle s_{n}$ 을 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle t$ 에 대한 식으로 표현하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅱ] 〈제시문 3〉에서 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ 일 때, $\displaystyle \frac{P_{2023}}{Q_{2023}}+\frac{Q_{2021}}{P_{2021}}$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅲ] 〈제시문 3〉에서 정의된 $\displaystyle 2023$ 개의 정사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_{1},\mathrm{R}_{2},\cdots,\mathrm{R}_{2023}$ 중에서, $\displaystyle 1012$ 개의 홀수 번째 정사각형의 넓이의 평균값 $\displaystyle \frac{P_{2023}}{1012}$ 과 $\displaystyle 1011$ 개의 짝수 번째 정사각형의 넓이의 평균값 $\displaystyle \frac{Q_{2023}}{1011}$ 의 대소관계를 〈제시문 1〉의 수학적 귀납법과 [문제 3-ⅱ]를 이용하여 판단하고, 그 이유를 논하시오.

성균관대 2023학년도 수시 자연계 1교시 3번 · mathesis.kr/archive/skku/2023su/jayeongyo1_3

[문제 3-ⅰ]

+8점 · 삼각함수를 이용하여

\displaystyle \mathrm{R}_{n}

과

\displaystyle \mathrm{R}_{n+1}

의 한 변 사이의 관계식을 파악하고, 수열

\displaystyle \{s_{n}\}

의 일반항을 보인다.

정사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_{n}$ 의 한 변의 길이를 $\displaystyle r_{n}$ 이라고 할 때, 다음의 식을 얻을 수 있다. $\displaystyle r_{2}\tan\theta+r_{2}=r_{1}$ 이므로 $\displaystyle r_{2}=\left(\frac{1}{1+t}\right)r_{1}$ $\displaystyle r_{3}\tan\theta+r_{3}=r_{2}$ 이므로 $\displaystyle r_{3}=\left(\frac{1}{1+t}\right)r_{2}$ 이런 과정을 반복하면 $\displaystyle r_{4}=\left(\frac{1}{1+t}\right)r_{3}$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle r_{n+1}=\left(\frac{1}{1+t}\right)r_{n}$ 따라서 수열 $\displaystyle \{r_{n}\}$ 의 공비는 $\displaystyle \frac{1}{1+t}$ , $\displaystyle r_{1}=1$ 이다.그러므로 $\displaystyle r_{n}=\left(\frac{1}{1+t}\right)^{n-1}$ 이다.즉, $\displaystyle s_{n}=(r_{n})^{2}=\left(\frac{1}{1+t}\right)^{2n-2}$ 이다.

[문제 3-ⅱ]

+10점 · 삼각함수의 값을 구하고, 이를 통해 주어진 식의 값을 구할 수 있다.

상수 $\displaystyle \alpha=\left(\frac{1}{1+t}\right)^{2}$ 라고 하면, $\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{2023}}{Q_{2023}}+\frac{Q_{2021}}{P_{2021}} &=\frac{1+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{2022}}{\alpha+\cdots+\alpha^{2021}}+\frac{\alpha+\cdots+\alpha^{2019}}{1+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{2020}} \\ &=\frac{1+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{2020}}{\alpha+\cdots+\alpha^{2021}}+\frac{\alpha^{2021}+(\alpha+\cdots+\alpha^{2019})}{1+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{2020}} \\ &=\frac{1}{\alpha}+\alpha \end{aligned}$ 임을 알 수 있다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOB}$ 에서 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ 이므로, $\displaystyle t=\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$ 이고 $\displaystyle \frac{1}{1+t}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}$ 이다.Correction. 풀이의 ‘삼각형 AOB’는 ‘삼각형 ABC’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, $\displaystyle \alpha=\left(\frac{1}{1+t}\right)^{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이고 $\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\alpha=5+\frac{3}{2}\sqrt{3}$ 이다.

[문제 3-ⅲ]

+12점 · 문제해결을 위한 명제를 수립하고, 이를 수학적 귀납법을 이용하여 보일 수 있다.

[문제 3-ⅱ]에서와 같이, 임의의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{P_{2n+1}}{Q_{2n+1}}+\frac{Q_{2n-1}}{P_{2n-1}}=\alpha+\frac{1}{\alpha}$ 이 성립함을 알 수 있고, $\displaystyle \alpha\ne1$ 이므로 $\displaystyle \alpha+\frac{1}{\alpha}>2$ 임을 알 수 있다.이제 수학적 귀납법을 사용하여 다음의 명제를 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대해 보이자.

$\displaystyle p(n)\ :\ \frac{P_{2n+1}}{n+1}>\frac{Q_{2n+1}}{n}$ 이 성립한다.

$\displaystyle n=1$ 일 때, $\displaystyle \frac{P_{3}}{2}=\frac{1+\alpha^{2}}{2}$ 이고 $\displaystyle \frac{Q_{3}}{1}=\alpha$ 이므로, 주어진 명제는 $\displaystyle \frac{1+\alpha^{2}}{2}>\alpha$ 와 동일하고, 이는 $\displaystyle (\alpha-1)^{2}>0$ 으로부터 얻어진다. 즉, $\displaystyle p(1)$ 이 성립한다.이제 $\displaystyle p(k)$ 가 성립한다고 가정하자. 그러면, $\displaystyle \frac{P_{2k+1}}{k+1}>\frac{Q_{2k+1}}{k}$ 이 성립한다. 이때, $\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{2k+3}}{k+2}-\frac{Q_{2k+3}}{k+1} &>\frac{Q_{2k+3}}{k+2}\left(2-\frac{Q_{2k+1}}{P_{2k+1}}\right)-\frac{Q_{2k+3}}{k+1} \\ &=\frac{kQ_{2k+3}}{(k+2)P_{2k+1}}\left(\frac{P_{2k+1}}{k+1}-\frac{Q_{2k+1}}{k}\right) \\ &>0 \end{aligned}$ $\displaystyle \left(\because\frac{P_{2k+3}}{Q_{2k+3}}=\alpha+\frac{1}{\alpha}-\frac{Q_{2k+1}}{P_{2k+1}}>2-\frac{Q_{2k+1}}{P_{2k+1}}\right)$ 이 성립하므로, $\displaystyle p(k+1)$ 이 성립함을 알 수 있다. 따라서, 수학적 귀납법에 의해 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대해 성립한다는 사실을 도출할 수 있고, 특히 $\displaystyle n=1011$ 일 때 $\displaystyle \frac{P_{2023}}{1012}>\frac{Q_{2023}}{1011}$ 이 성립한다고 결론지을 수 있다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계 1교시 3번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개