자연계 1교시 2번

[문제 2-ⅰ]

[문제 2-ⅱ]

이다. (1), (2) 로부터 다음의 세 가지 경우를 생각할 수 있다.$\displaystyle x=18$ 일 때 $\displaystyle y^{2}-18y+24=0$ 이고 $\displaystyle 18$보다 작은 양수 해는 $\displaystyle y=9\pm\sqrt{57}$$\displaystyle x=19$ 일 때 $\displaystyle y^{2}-19y+61=0$ 이고 $\displaystyle 19$보다 작은 양수 해는 $\displaystyle y=\frac{19\pm3\sqrt{13}}{2}$$\displaystyle x=20$ 일 때 $\displaystyle y^{2}-20y+100=0$ 이므로 $\displaystyle y=10$따라서 구하는 순서쌍은 $\displaystyle (20,10)$ 이다.

[문제 2-ⅲ]

(1) $\displaystyle M=6$ 일 때코사인법칙에 의해$\displaystyle x^{2}+y^{2}-xy=30$가 성립한다.$\displaystyle x+y=6$ 를 대입하면$\displaystyle x^{2}-6x+2=0$혹은$\displaystyle y^{2}-6y+2=0$따라서 $\displaystyle x,y$ 는$\displaystyle X^{2}-6X+2=0$의 두 근이다. 이를 풀면 $\displaystyle x=3+\sqrt{7}$, $\displaystyle y=3-\sqrt{7}$

마찬가지로 계산하면(2) $\displaystyle M=7$ 일 때 $\displaystyle 3X^{2}-21X+19=0$ 이고 해는 $\displaystyle x=\frac{21+\sqrt{213}}{6}$, $\displaystyle y=\frac{21-\sqrt{213}}{6}$,(3) $\displaystyle M=8$ 일 때 $\displaystyle 3X^{2}-24X+34=0$ 이고 해는 $\displaystyle x=\frac{12+\sqrt{42}}{3}$, $\displaystyle y=\frac{12-\sqrt{42}}{3}$(4) $\displaystyle M=9$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-9X+17=0$ 이고 해는 $\displaystyle x=\frac{9+\sqrt{13}}{2}$, $\displaystyle y=\frac{9-\sqrt{13}}{2}$(5) $\displaystyle M=10$ 일 때 $\displaystyle 3X^{2}-30X+70=0$ 이고 해는 $\displaystyle x=\frac{15+\sqrt{15}}{3}$, $\displaystyle y=\frac{15-\sqrt{15}}{3}$(6) $\displaystyle M=11$ 일 때 $\displaystyle 3X^{2}-33X+91=0$ 이고 실근을 가지지 않는다.(7) $\displaystyle M=12$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-12X+38=0$ 이고 해는 실근을 가지지 않는다.

따라서 가능한 값은 $\displaystyle M=6,7,8,9,10$ 이고 구하는 값은 $\displaystyle 6+7+8+9+10=40$

[문제 2-ⅳ]

(1) $\displaystyle N=1$ 일 때: $\displaystyle xy=1$ 를 코사인법칙$\displaystyle x^{2}+y^{2}-xy=6$에 대입하여 $\displaystyle y$를 소거하면$\displaystyle x^{4}-7x^{2}+1=0$을 얻는다. 마찬가지 방법으로 $\displaystyle x$를 소거하면$\displaystyle y^{4}-7y^{2}+1=0$따라서 $\displaystyle x^{2},y^{2}$는 다음 방정식을 만족한다.$\displaystyle X^{2}-7X+1=0$이를 풀면 $\displaystyle x^{2}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$, $\displaystyle y^{2}=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ 이다.

마찬가지로 계산하면(2) $\displaystyle N=2$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-8X+4=0$ 이고 그 해는 $\displaystyle x^{2}=4+2\sqrt{3}$, $\displaystyle y^{2}=4-2\sqrt{3}$(3) $\displaystyle N=3$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-9X+9=0$ 이고 그 해는 $\displaystyle x^{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$, $\displaystyle y^{2}=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$(4) $\displaystyle N=4$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-10X+16=0$ 이고 그 해는 $\displaystyle x^{2}=8$, $\displaystyle y^{2}=2$(5) $\displaystyle N=5$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-11X+25=0$ 이고 그 해는 $\displaystyle x^{2}=\frac{11+\sqrt{21}}{2}$, $\displaystyle y^{2}=\frac{11-\sqrt{21}}{2}$(6) $\displaystyle N=6$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-12X+36=0$ 이고 그 해는 $\displaystyle x^{2}=6$, $\displaystyle y^{2}=6$(7) $\displaystyle N=7$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-13X+49=0$ 이고 이 방정식은 실근을 가지지 않는다.(8) $\displaystyle N=8$ 일 때 $\displaystyle X^{2}-14X+64=0$ 이고 이 방정식은 실근을 가지지 않는다.

따라서 문제의 조건을 만족하는 $\displaystyle N$ 은 $\displaystyle N=1,2,3,5$ 이고 구하는 값은 $\displaystyle N=1+2+3+5=11$이다.