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자연계 1교시 2번

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성균관대 2023학년도 수시 자연계 1교시 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2023su/jayeongyo1_2

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[문제 2] 다음 〈제시문 1〉과 〈제시문 2〉를 읽고 [문제 2-ⅰ] ~ [문제 2-ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (40점)

〈제시문 1〉삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}의 외접원의 반지름의 길이 R\displaystyle R에 대해 다음이 성립한다.BC‾sin⁡A=CA‾sin⁡B=AB‾sin⁡C=2R\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}=\frac{\overline{\mathrm{CA}}}{\sin B}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C}=2R

〈제시문 2〉그림과 같이 양의 실수 a\displaystyle a에 대해 반지름이 a\displaystyle a인 원에 내접하는 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}가 다음 세 가지 조건을 만족한다.(1) BC‾=3a\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{3}a(2) ∠A<90∘\displaystyle \angle\mathrm{A}<90^{\circ}(3) 0<AC‾≤AB‾\displaystyle 0<\overline{\mathrm{AC}}\le\overline{\mathrm{AB}}

반지름이 a인 원에 내접하는 삼각형 ABC를 그린 그림. 변 BC의 길이가 √3 a로 표시되어 있다.

[문제 2-ⅰ] 〈제시문 2〉의 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}에 대해 ∠A\displaystyle \angle\mathrm{A}를 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅱ] 〈제시문 2〉의 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}에 대해 a=10\displaystyle a=10일 때, AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}와 AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}가 모두 정수가 되는 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}와 AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}의 값을 모두 찾고 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅲ] 〈제시문 2〉의 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}에 대해 a=10\displaystyle a=\sqrt{10}이라 하자. 2023\displaystyle 2023 이하인 자연수 M\displaystyle M에 대해, AB‾+AC‾=M\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AC}}=M을 만족하는 순서쌍 (AB‾,AC‾)\displaystyle \left(\overline{\mathrm{AB}},\overline{\mathrm{AC}}\right)가 존재하는 모든 M\displaystyle M의 합을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅳ] 〈제시문 2〉의 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}에 대해 a=2\displaystyle a=\sqrt{2}라 하자. 2023\displaystyle 2023 이하인 자연수 N\displaystyle N에 대해, AB‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^{2}과 AC‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^{2}은 정수가 아니고 AB‾×AC‾=N\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}=N을 만족하는 순서쌍 (AB‾2,AC‾2)\displaystyle \left(\overline{\mathrm{AB}}^{2},\overline{\mathrm{AC}}^{2}\right)이 존재하는 모든 N\displaystyle N의 합을 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2023학년도 수시 자연계 1교시 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2023su/jayeongyo1_2

[문제 2-ⅰ]

+5점 · 사인법칙을 적용하여 삼각형의 각을 구할 수 있다.

사인법칙에 의해서3asin⁡A=2a\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{\sin A}=2a이므로sin⁡A=32\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}따라서 ∠A=π3\displaystyle \angle A=\frac{\pi}{3} 이다.

[문제 2-ⅱ]

+10점 · 코사인법칙과 삼각형의 성질을 결합하여 원하는 변의 길이를 구할 수 있다.

편의상 x=AB‾\displaystyle x=\overline{\mathrm{AB}}, y=AC‾\displaystyle y=\overline{\mathrm{AC}}라 두자.정삼각형일 때 x=y=103\displaystyle x=y=10\sqrt{3}이고, 〈제시문 2〉의 (3)에 의해 y≤x\displaystyle y\le x 이므로x≥103\displaystyle x\ge10\sqrt{3}임을 알 수 있다. 한편 x\displaystyle x는 지름보다 클 수 없으므로x≤20\displaystyle x\le20따라서103≤x≤20\displaystyle 10\sqrt{3}\le x\le20양변을 제곱하면,300≤x2≤400\displaystyle 300\le x^{2}\le400이를 만족하는 양의 정수는x=18,19,20(1)\displaystyle x=18,19,20\qquad(1)한편 A\displaystyle \mathrm{A}는 예각이므로 [문제 1-ⅰ]에 의해Correction. ‘[문제 1-ⅰ]’은 각 A\displaystyle A를 구한 ‘[문제 2-ⅰ]’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.cos⁡A=12\displaystyle \cos A=\frac{1}{2}따라서 코사인법칙 이용하면x2+y2−xy=300(2)\displaystyle x^{2}+y^{2}-xy=300\qquad(2)

이다. (1), (2) 로부터 다음의 세 가지 경우를 생각할 수 있다.x=18\displaystyle x=18 일 때 y2−18y+24=0\displaystyle y^{2}-18y+24=0 이고 18\displaystyle 18보다 작은 양수 해는 y=9±57\displaystyle y=9\pm\sqrt{57}x=19\displaystyle x=19 일 때 y2−19y+61=0\displaystyle y^{2}-19y+61=0 이고 19\displaystyle 19보다 작은 양수 해는 y=19±3132\displaystyle y=\frac{19\pm3\sqrt{13}}{2}x=20\displaystyle x=20 일 때 y2−20y+100=0\displaystyle y^{2}-20y+100=0 이므로 y=10\displaystyle y=10따라서 구하는 순서쌍은 (20,10)\displaystyle (20,10) 이다.

[문제 2-ⅲ]

+12점 · 코사인법칙과 삼각형의 기본 성질을 정수 조건과 결합하고 연립 이차 방정식을 유도하여 원하는 변의 길이를 구할 수 있다.

편의상 x=AB‾\displaystyle x=\overline{\mathrm{AB}}, y=AC‾\displaystyle y=\overline{\mathrm{AC}}라 두자.두 변의 합은 나머지 한 변 보다 커야 하므로x+y>BC‾=30\displaystyle x+y>\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{30}x,y\displaystyle x,y가 지름보다 클 수는 없으므로x+y≤210+210=410\displaystyle x+y\le2\sqrt{10}+2\sqrt{10}=4\sqrt{10}따라서M=6,7,8,9,10,11,12\displaystyle M=6,7,8,9,10,11,12만 고려하면 된다.

(1) M=6\displaystyle M=6 일 때코사인법칙에 의해x2+y2−xy=30\displaystyle x^{2}+y^{2}-xy=30가 성립한다.x+y=6\displaystyle x+y=6 를 대입하면x2−6x+2=0\displaystyle x^{2}-6x+2=0혹은y2−6y+2=0\displaystyle y^{2}-6y+2=0따라서 x,y\displaystyle x,y 는X2−6X+2=0\displaystyle X^{2}-6X+2=0의 두 근이다. 이를 풀면 x=3+7\displaystyle x=3+\sqrt{7}, y=3−7\displaystyle y=3-\sqrt{7}

마찬가지로 계산하면(2) M=7\displaystyle M=7 일 때 3X2−21X+19=0\displaystyle 3X^{2}-21X+19=0 이고 해는 x=21+2136\displaystyle x=\frac{21+\sqrt{213}}{6}, y=21−2136\displaystyle y=\frac{21-\sqrt{213}}{6},(3) M=8\displaystyle M=8 일 때 3X2−24X+34=0\displaystyle 3X^{2}-24X+34=0 이고 해는 x=12+423\displaystyle x=\frac{12+\sqrt{42}}{3}, y=12−423\displaystyle y=\frac{12-\sqrt{42}}{3}(4) M=9\displaystyle M=9 일 때 X2−9X+17=0\displaystyle X^{2}-9X+17=0 이고 해는 x=9+132\displaystyle x=\frac{9+\sqrt{13}}{2}, y=9−132\displaystyle y=\frac{9-\sqrt{13}}{2}(5) M=10\displaystyle M=10 일 때 3X2−30X+70=0\displaystyle 3X^{2}-30X+70=0 이고 해는 x=15+153\displaystyle x=\frac{15+\sqrt{15}}{3}, y=15−153\displaystyle y=\frac{15-\sqrt{15}}{3}(6) M=11\displaystyle M=11 일 때 3X2−33X+91=0\displaystyle 3X^{2}-33X+91=0 이고 실근을 가지지 않는다.(7) M=12\displaystyle M=12 일 때 X2−12X+38=0\displaystyle X^{2}-12X+38=0 이고 해는 실근을 가지지 않는다.

따라서 가능한 값은 M=6,7,8,9,10\displaystyle M=6,7,8,9,10 이고 구하는 값은 6+7+8+9+10=40\displaystyle 6+7+8+9+10=40

[문제 2-ⅳ]

+13점 · 코사인법칙과 삼각형의 기본적 성질 및 정수 조건을 결합하여 원하는 변의 길이를 구할 수 있다.

편의상 x=AB‾\displaystyle x=\overline{\mathrm{AB}}, y=AC‾\displaystyle y=\overline{\mathrm{AC}}라 두자.x,y\displaystyle x,y 가 모두 지름보다 클 수는 없으므로 xy≤22×22=8\displaystyle xy\le2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=8따라서 N=1,2,⋯ ,8\displaystyle N=1,2,\cdots,8 만 고려하면 된다.

(1) N=1\displaystyle N=1 일 때: xy=1\displaystyle xy=1 를 코사인법칙x2+y2−xy=6\displaystyle x^{2}+y^{2}-xy=6에 대입하여 y\displaystyle y를 소거하면x4−7x2+1=0\displaystyle x^{4}-7x^{2}+1=0을 얻는다. 마찬가지 방법으로 x\displaystyle x를 소거하면y4−7y2+1=0\displaystyle y^{4}-7y^{2}+1=0따라서 x2,y2\displaystyle x^{2},y^{2}는 다음 방정식을 만족한다.X2−7X+1=0\displaystyle X^{2}-7X+1=0이를 풀면 x2=7+352\displaystyle x^{2}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}, y2=7−352\displaystyle y^{2}=\frac{7-3\sqrt{5}}{2} 이다.

마찬가지로 계산하면(2) N=2\displaystyle N=2 일 때 X2−8X+4=0\displaystyle X^{2}-8X+4=0 이고 그 해는 x2=4+23\displaystyle x^{2}=4+2\sqrt{3}, y2=4−23\displaystyle y^{2}=4-2\sqrt{3}(3) N=3\displaystyle N=3 일 때 X2−9X+9=0\displaystyle X^{2}-9X+9=0 이고 그 해는 x2=9+352\displaystyle x^{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}, y2=9−352\displaystyle y^{2}=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}(4) N=4\displaystyle N=4 일 때 X2−10X+16=0\displaystyle X^{2}-10X+16=0 이고 그 해는 x2=8\displaystyle x^{2}=8, y2=2\displaystyle y^{2}=2(5) N=5\displaystyle N=5 일 때 X2−11X+25=0\displaystyle X^{2}-11X+25=0 이고 그 해는 x2=11+212\displaystyle x^{2}=\frac{11+\sqrt{21}}{2}, y2=11−212\displaystyle y^{2}=\frac{11-\sqrt{21}}{2}(6) N=6\displaystyle N=6 일 때 X2−12X+36=0\displaystyle X^{2}-12X+36=0 이고 그 해는 x2=6\displaystyle x^{2}=6, y2=6\displaystyle y^{2}=6(7) N=7\displaystyle N=7 일 때 X2−13X+49=0\displaystyle X^{2}-13X+49=0 이고 이 방정식은 실근을 가지지 않는다.(8) N=8\displaystyle N=8 일 때 X2−14X+64=0\displaystyle X^{2}-14X+64=0 이고 이 방정식은 실근을 가지지 않는다.

따라서 문제의 조건을 만족하는 N\displaystyle N 은 N=1,2,3,5\displaystyle N=1,2,3,5 이고 구하는 값은 N=1+2+3+5=11\displaystyle N=1+2+3+5=11이다.

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