성균관대 2024학년도 수시 자연계 1교시 1번 해설

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성균관대 2024학년도 수시 자연계 1교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2024su/jayeongyo1_1

[문제 1-ⅰ]

+8점 · 접선의 방정식을 계산할 수 있다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(c,f(c))$ 에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 접하는 접선과 수직이며 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle \ell$ 이라 하자. 이 직선 $\displaystyle \ell$ 이 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,b)$ 를 지난다는 것을 보이면 된다. 직선 $\displaystyle \ell$ 의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{f^{\prime}(c)}(x-c)+f(c)$ 이므로 다음을 만족함을 보이면 된다. $\displaystyle b=-\frac{1}{f^{\prime}(c)}(a-c)+f(c)\ \cdots\cdots\cdots\cdots\ (\*)$ 이제 곡선 위의 점 $\displaystyle (x,f(x))$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 까지의 거리의 제곱을 $\displaystyle g(x)=(x-a)^{2}+(f(x)-b)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}+f(x)\cdot f(x)-2bf(x)+b^{2}$ 이라 하자. 그러면 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x=c$ 에서 최솟값을 가지므로 극소가 된다. 그러므로 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=2x-2a+f^{\prime}(x)f(x)+f(x)f^{\prime}(x)-2bf^{\prime}(x)=2(x-a)+2f^{\prime}(x)(f(x)-b)$ 는 $\displaystyle g^{\prime}(c)=0$ 을 만족한다. 따라서 $\displaystyle 2(c-a)+2f^{\prime}(c)(f(c)-b)=0$ 을 얻는다. 이 식은 식 (\*)과 같으므로 직선 $\displaystyle \ell$ 은 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 를 지난다.

참고: 만약 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$ 인 경우 위에서 얻은 식 $\displaystyle 2(c-a)+2f^{\prime}(c)(f(c)-b)=0$ 으로부터 $\displaystyle a=c$ 가 되고 직선 $\displaystyle \ell$ 의 방정식은 $\displaystyle x=c$ 가 된다. 따라서 이 경우에도 직선 $\displaystyle \ell$ 은 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 를 지난다.

[문제 1-ⅱ]

+6점 · 접선의 성질을 이해하고 문제를 해결할 수 있다.

점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 에서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 에 접하는 접선과 수직이며 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle \ell_{1}$ 이라 하고 점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 에서 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 에 접하는 접선과 수직이며 점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle \ell_{2}$ 라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 를 고정하고 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 위의 점 중에서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 까지의 거리가 최소인 점을 $\displaystyle \mathrm{R}$ 이라고 할 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{QR}$ 의 길이가 최소가 되어야 하므로 [문제 1-ⅰ]에 의해 직선 $\displaystyle \ell_{1}$ 이 점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 을 지난다. 같은 이유로 직선 $\displaystyle \ell_{2}$ 는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 를 지난다. 따라서 직선 $\displaystyle \ell_{1}$ 과 $\displaystyle \ell_{2}$ 는 모두 직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$ 와 같으므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 에서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 에 접하는 접선과 점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 에서 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 에 접하는 접선은 모두 직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$ 에 수직이다.Correction. $\displaystyle Q$ 를 고정하고 $\displaystyle R$ 을 움직여 거리가 최소가 되는 경우, [문제 1-ⅰ]로 얻는 것은 $\displaystyle \ell_2$ 가 $\displaystyle Q$ 를 지난다는 사실이다. 반대로 $\displaystyle R$ 을 고정하면 $\displaystyle \ell_1$ 이 $\displaystyle R$ 을 지난다. 해당 설명에서 두 직선이 서로 뒤바뀌었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 1-ⅲ]

+16점 · 함수의 그래프를 직선에 대해 대칭할 수 있다.

주어진 곡선과 직선의 개형을 그리면 아래와 같다.

곡선 y=√(x−1)(파랑), 곡선 y=2x²−30x+113(빨강), 직선 y=x(주황), x축을 한 좌표평면에 그린 그림.

곡선 $\displaystyle y=\sqrt{x-1}\ (x\ge1)$ 을 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대해 대칭시키면 $\displaystyle y=x^{2}+1\ (x\ge0)$ 이 되고 곡선 $\displaystyle y=2x^{2}-30x+113$ 을 직선 $\displaystyle y=0$ 에 대해 대칭시키면 $\displaystyle y=-2x^{2}+30x-113$ 이 된다. 이렇게 얻어진 곡선의 개형을 그리면 아래와 같다.

곡선 y=x²+1(파랑)과 곡선 y=−2x²+30x−113(빨강), 직선 y=x(주황)를 한 좌표평면에 그린 그림.

따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ , $\displaystyle \mathrm{BC}$ , $\displaystyle \mathrm{CD}$ 의 길이의 합이 최소가 될 때는 점 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle \mathrm{C}$ , $\displaystyle \mathrm{D}^{\prime}$ 이 한 직선 위에 있고, 선분 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$ 의 길이가 두 포물선 사이의 최소 거리가 될 때이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,b)$ 를 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대해 대칭시켜 얻은 점을 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}(b,a)$ 라 하고 점 $\displaystyle \mathrm{D}(c,d)$ 를 직선 $\displaystyle y=0$ 에 대해 대칭시켜 얻은 점을 $\displaystyle \mathrm{D}^{\prime}(c,-d)$ 라 하면 주어진 조건으로부터 $\displaystyle c-b=6$ 을 얻는다. 또한 [문제 1-ⅱ]에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$ 에서 곡선 $\displaystyle y=x^{2}+1$ 에 접하는 접선과 점 $\displaystyle \mathrm{D}^{\prime}$ 에서 곡선 $\displaystyle y=-2x^{2}+30x-113$ 에 접하는 접선은 서로 평행하므로 기울기가 같다. 두 접선의 기울기를 비교하면 $\displaystyle 2b=-4c+30$ 이 되고, 이 식과 위에서 얻은 식을 연립하면 $\displaystyle b=1$ , $\displaystyle c=7$ 을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}=(1,2)$ , $\displaystyle \mathrm{D}^{\prime}=(7,-1)$ 이므로, 정답은 $\displaystyle \mathrm{A}=(2,1)$ , $\displaystyle \mathrm{D}=(7,1)$ 이다.

참고: 문제에서 주어진 조건 $\displaystyle c-b=6$ 이 없어도 다음과 같이 답을 구할 수 있다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}(b,b^{2}+1)$ 에서 곡선 $\displaystyle y=x^{2}+1$ 에 접하는 접선과 수직이며 점 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$ 을 지나는 직선과 점 $\displaystyle \mathrm{D}^{\prime}=(c,-2c^{2}+30c-113)$ 에서 곡선 $\displaystyle y=-2x^{2}+30x-113$ 에 접하는 접선과 수직이며 점 $\displaystyle \mathrm{D}^{\prime}$ 을 지나는 직선은 각각 다음과 같다. $\displaystyle y=-\frac{1}{2b}(x-b)+b^{2}+1,\qquad y=-\frac{1}{30-4c}(x-c)-2c^{2}+30c-113$ 이 두 직선은 일치하므로 기울기가 같고 $\displaystyle y$ 절편이 같음을 이용하여 다음 식을 얻는다. $\displaystyle 2b=-4c+30,\qquad\frac{3}{2}+b^{2}=\frac{c}{30-4c}-2c^{2}+30c-113$ 첫 번째 식에서 얻은 $\displaystyle b=15-2c$ 를 두 번째 식에 대입하여 정리하면 $\displaystyle -24c^{3}+540c^{2}-4059c+10185=-3(8c^{2}-124c+485)(c-7)=0$ 이 되어 $\displaystyle c=7$ 을 얻을 수 있다.

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자연계 1교시 1번

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