자연계 2교시 3번

$\displaystyle px^{2}+qx+r=f(x)=g^{\prime}(x)=3x^{2}+2Ax+B$로부터 $\displaystyle p=3$이다.수열 $\displaystyle S_{n}=f(n)$이 등차수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$항까지의 합이라고 할 때,$\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}=f(n)-f(n-1)=6(n-1)+q+3=6n+q-3\qquad(n\ge2\text{일 때})$이 성립하므로 공차는 $\displaystyle 6$이다. 또한, $\displaystyle a_{1}=S_{1}=f(1)$이므로,$\displaystyle a_{1}=3+q=f(1)=3+q+r$를 얻게 되고, $\displaystyle r=0$이다. 한편, 함수 $\displaystyle y=h(x)$의 조건으로부터$\displaystyle g^{\prime}(0)=0=g^{\prime}(6)=108+6q$를 얻게 되어, $\displaystyle q=-18$이고, $\displaystyle h(6)=h(0)+h(6)$로부터 $\displaystyle C=h(0)=0$이다. 따라서, 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$는$\displaystyle f(x)=3x^{2}-18x,\qquad g(x)=x^{3}-9x^{2}$이다. 이로부터 정적분 값을 구하면$\displaystyle \int_{0}^{6}g(x)dx=\int_{0}^{6}x^{3}-9x^{2}dx=-324$와$\displaystyle \int_{0}^{2}g(x)dx=\int_{0}^{2}(x^{3}-9x^{2})dx=-20$이고 $\displaystyle g(6)-g(0)=-108$이므로,$\displaystyle \int_{0}^{8}h(x)dx=-324-20-108\times2=-560$이다.

두 실수 $\displaystyle \alpha,\beta$는 $\displaystyle f(x)=px^{2}+qx+r=0$의 해이고 $\displaystyle r\ne0$이므로, 모두 $\displaystyle 0$이 아니다. 또한 $\displaystyle \alpha,\beta$는 삼차방정식$\displaystyle g(x)-f(x)=(x^{3}+qx^{2}+px+r)-(px^{2}+qx+r)=x(x^{2}+(q-p)x-(q-p))=0$의 해가 되므로, 이차방정식$\displaystyle x^{2}+(q-p)x-(q-p)=0$의 해가 되어, $\displaystyle \alpha+\beta=\alpha\beta=p-q$가 성립한다. 한편, $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{q}{p}$, $\displaystyle \alpha\beta=\frac{r}{p}$가 성립하므로,$\displaystyle \alpha+\beta=\alpha\beta=p-q=-\frac{q}{p}=\frac{r}{p}$를 얻을 수 있고, 이로부터 $\displaystyle r=-q$이다. 또한, $\displaystyle p-q=-\frac{q}{p}$로부터 $\displaystyle p^{2}=q(p-1)$을 얻게 되고, $\displaystyle p\ne1$임을 알 수 있다. 양변을 $\displaystyle p-1$로 나누면 $\displaystyle q=\frac{p^{2}}{p-1}=p+1+\frac{1}{p-1}$를 얻게 되고, $\displaystyle q$는 정수이므로 $\displaystyle p=2$이다. 따라서, $\displaystyle (p,q,r)=(2,4,-4)$을 얻게 되어$\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-4,\qquad g(x)=x^{3}+4x^{2}+2x-4$이고, $\displaystyle \alpha=-1-\sqrt{3}$, $\displaystyle \beta=-1+\sqrt{3}$이다. 따라서 구하고자 하는 정적분은$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta}|f(x)-g(x)|dx &=\int_{\alpha}^{0}x(x^{2}+2x-2)dx-\int_{0}^{\beta}x(x^{2}+2x-2)dx \\ &=-\frac{1}{4}(\alpha^{4}+\beta^{4})-\frac{2}{3}(\alpha^{3}+\beta^{3})+(\alpha^{2}+\beta^{2}) \end{aligned}$이다. $\displaystyle \alpha+\beta=\alpha\beta=-2$로부터$\displaystyle \alpha^{2}+\beta^{2}=8,\ \alpha^{3}+\beta^{3}=-20,\ \alpha^{4}+\beta^{4}=56$을 얻게 되어, 문제의 정적분의 값은 $\displaystyle \frac{22}{3}$임을 알 수 있다.

$\displaystyle A+B=0$, $\displaystyle AB=9C$가 성립하므로, 삼차함수 $\displaystyle g(x)=x^{3}+Ax^{2}-Ax-\frac{A^{2}}{9}$이다.이차방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^{2}+2Ax-A=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로, 판별식 $\displaystyle D=A^{2}+3A>0$이 성립해야 하고, 이로부터 $\displaystyle A>0$ 또는 $\displaystyle A<-3$이다.이때, 이차방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$의 두 근 $\displaystyle \frac{-A\pm\sqrt{A^{2}+3A}}{3}$을 각각 $\displaystyle a,b$(단, $\displaystyle a<b$)라고 하면,$\displaystyle a+b=-\frac{2A}{3},\ ab=-\frac{A}{3}$이 성립한다. 한편,$\displaystyle \begin{aligned} g(a) &=a^{3}+Aa^{2}-Aa-\frac{A^{2}}{9} \\ &=g^{\prime}(a)\left(\frac{a}{3}+\frac{A}{9}\right)-\frac{2}{9}A(A+3)a \\ &=-\frac{2}{9}A(A+3)a>0 \end{aligned}$이 되어 $\displaystyle a<0$이다. 동일한 방법으로 $\displaystyle g(b)=-\frac{2}{9}A(A+3)b<0$ 으로부터 $\displaystyle b>0$을 얻게 되어, $\displaystyle A=-3ab>0$을 얻을 수 있다. 마지막으로,$\displaystyle \begin{aligned} 24\sqrt{6} &=g(a)-g(b) \\ &=(a^{3}-b^{3})+A(a^{2}-b^{2})-A(a-b) \\ &=(a-b)((a^{2}+ab+b^{2})+A(a+b)-A) \\ &=\frac{4}{27}A(A+3)\sqrt{A(A+3)} \end{aligned}$을 얻게 되어 $\displaystyle A(A+3)=54$이다. 따라서, $\displaystyle A=6$이다.