자연계 2교시 2번

점 $\displaystyle \mathrm{P}_{0}(-1,0)$에서 그은 기울기가 $\displaystyle \tan\left(\frac{t_{1}\pi}{12}\right)=\tan\left(\frac{3\pi}{12}\right)=1$인 직선이 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$과 다시 만나는 점은 $\displaystyle (0,1)$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$의 좌표는 $\displaystyle (0,1)$임을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle n$이 홀수이면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$에서 그은 기울기가 $\displaystyle \tan\left(\frac{t_{n+1}\pi}{12}\right)=\tan\left(\frac{4\pi}{12}\right)=\sqrt{3}$인 직선이 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$과 다시 만나는 점이 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}$이 된다. 만약 $\displaystyle n$이 짝수이면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$에서 그은 기울기가 $\displaystyle \tan\left(\frac{t_{n+1}\pi}{12}\right)=\tan\left(\frac{3\pi}{12}\right)=1$인 직선이 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$과 다시 만나는 점이 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}$이 된다. 이로부터 얻어지는 점들 $\displaystyle \mathrm{P}_{0},\mathrm{P}_{1},\cdots,\mathrm{P}_{9}$을 그림으로 나타내면 다음 그림과 같다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}_{9}$에서 그은 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$인 직선은 원과 접하게 되므로, $\displaystyle \mathrm{P}_{10}=\mathrm{P}_{9}$이 된다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{10}$에서 그은 기울기가 $\displaystyle 1$인 직선은 원과 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{8}$에서 만나게 되므로, $\displaystyle \mathrm{P}_{11}=\mathrm{P}_{8}$이 됨을 알 수 있다. 동일한 방법으로, $\displaystyle \mathrm{P}_{12}=\mathrm{P}_{7}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{13}=\mathrm{P}_{6}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{14}=\mathrm{P}_{5}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{15}=\mathrm{P}_{4}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{16}=\mathrm{P}_{3}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{17}=\mathrm{P}_{2}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{18}=\mathrm{P}_{1}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{19}=\mathrm{P}_{0}$이 된다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{19}$에서 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$인 직선을 그어서 원과 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{20}$을 얻고, 이 점에서 기울기가 $\displaystyle 1$인 직선을 그어서 원과 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{21}$을 얻는다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{21}$에서 그은 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$인 직선은 원과 접하게 되므로, $\displaystyle \mathrm{P}_{22}=\mathrm{P}_{21}$이 된다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{22}$에서 그은 기울기가 $\displaystyle 1$인 직선은 원과 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{20}$과 만나게 되므로, $\displaystyle \mathrm{P}_{23}=\mathrm{P}_{20}$이 됨을 알 수 있다. 동일한 방법으로, $\displaystyle \mathrm{P}_{24}=\mathrm{P}_{19}=\mathrm{P}_{0}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{25}=\mathrm{P}_{18}=\mathrm{P}_{1}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{26}=\mathrm{P}_{17}=\mathrm{P}_{2}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{27}=\mathrm{P}_{16}=\mathrm{P}_{3}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{28}=\mathrm{P}_{15}=\mathrm{P}_{4}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{29}=\mathrm{P}_{14}=\mathrm{P}_{5}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{30}=\mathrm{P}_{13}=\mathrm{P}_{6}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{31}=\mathrm{P}_{12}=\mathrm{P}_{7}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{32}=\mathrm{P}_{11}=\mathrm{P}_{8}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{33}=\mathrm{P}_{10}=\mathrm{P}_{9}$이 된다. 이로부터 $\displaystyle \mathrm{P}_{24+n}=\mathrm{P}_{n}$임을 관찰할 수 있다. 점들 $\displaystyle \mathrm{P}_{0},\mathrm{P}_{1},\cdots,\mathrm{P}_{23}$을 그림으로 나타내면 다음 그림과 같다.

$\displaystyle n$이 $\displaystyle 22$보다 큰 경우에는 같은 모양의 도형이 계속 반복되므로, $\displaystyle n\le22$일 때, $\displaystyle A(n)$의 최댓값을 구하면 충분하다. $\displaystyle n=8,9,20,21$인 경우에는 $\displaystyle A(n)=0$이 된다. $\displaystyle n\le22$이고, $\displaystyle n\ne8,9,20,21$이면, 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+2}$로 둘러싸인 도형은 원에 내접하는 삼각형이 되므로,$\displaystyle A(n)=\frac{\overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}}\cdot\overline{\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}}\cdot\overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+2}}}{4}$이 됨을 알 수 있다. [문제 2-ⅰ]로부터, 호 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+2}$의 길이가 일정하므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+2}$의 길이도 일정하게 된다. 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$의 길이는 이 선분이 지름이 되는 경우 (즉, 중심각이 $\displaystyle \pi$, 원주각이 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$인 경우) 최대가 되고, 그 다음으로는 중심각이 $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$, 즉 원주각이 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$인 경우임을 알 수 있다. 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$이 지름이 되는 경우, 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}$의 원주각이 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$임을 관찰할 수 있다. 또한 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}$가 지름이 되는 경우에는, 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$의 원주각이 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$임을 관찰할 수 있다. 따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$ 또는 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}$가 지름이 되는 경우 (즉, $\displaystyle n=2,3,14,15$), $\displaystyle A(n)$은 최대가 된다. 이제 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}$를 지름을 밑변으로 하는 삼각형으로 볼 때, $\displaystyle A(n)=\frac{1}{2}\times2\times\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$이므로, $\displaystyle A(n)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이 된다.