자연계 1교시 3번

함수 $\displaystyle g(x)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2px+q$이고 여기에 $\displaystyle x=0$을 대입하면, $\displaystyle g^{\prime}(0)=q$가 된다. 따라서 포물선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{R}(0,r)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=qx+r$이 되고, $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle -\frac{r}{q}$이므로, $\displaystyle \alpha=-\frac{r}{q}$이 된다.또한 포물선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{R}(0,r)$를 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{PR}$에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{q}x+r$이 되고, 이 직선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle qr$이므로, $\displaystyle \beta=qr$이 된다.답: $\displaystyle \alpha=-\frac{r}{q}$, $\displaystyle \beta=qr$

제시문의 조건으로부터 다음이 성립한다.· $\displaystyle B>C$· $\displaystyle B^{2}\le B^{2}+4AC=100$이므로, $\displaystyle B\le10$이고 $\displaystyle B$는 짝수이다.· $\displaystyle A$와 $\displaystyle C$는 $\displaystyle \frac{100-B^{2}}{4}$의 약수이다.· $\displaystyle -\alpha\beta=r^{2}$이므로, 근과 계수의 관계로부터 $\displaystyle \frac{C}{A}$는 제곱수이다.이로부터 가능한 순서쌍 $\displaystyle (A,B,C)$는 아래의 표와 같이 두 쌍이 존재한다. 각 순서쌍에 대해 이차방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 두 실근 $\displaystyle \alpha,\beta$를 구하고 [문제 3-ⅰ]의 결과로부터 그에 대응하는 $\displaystyle q,r$을 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline B & AC & (A,B,C) & (\alpha,\beta) & (q,r) \\ \hline 8 & 9 & (3,8,3) & \left(-\frac{1}{3},3\right) & (3,1) \\ \hline 6 & 16 & (4,6,4) & \left(-\frac{1}{2},2\right) & (2,1) \\ \hline \end{array}$마지막으로 $\displaystyle q^{2}+4pr$가 완전제곱수가 되도록 하는 $\displaystyle p$ 중에서 최소인 것을 구하면 아래 표에 있는 것과 같다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|} \hline (A,B,C) & (p,q,r) \\ \hline (3,8,3) & (4,3,1) \\ \hline (4,6,4) & (3,2,1) \\ \hline \end{array}$

$\displaystyle g(x)=0$의 두 근 중에서 음수인 근을 $\displaystyle \gamma$로 놓자. 선분 $\displaystyle \mathrm{PR}$와, 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 및 $\displaystyle x$축$\displaystyle (x<0)$으로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}|\alpha|r-\int_{\gamma}^{0}(-px^{2}+qx+r)\,dx=\frac{1}{2}|\alpha|r-\frac{p}{3}\gamma^{3}+\frac{q}{2}\gamma^{2}+r\gamma$와 같다. 이 도형의 넓이가 최소가 되기 위해서는 곡선 $\displaystyle y=g(x)$, $\displaystyle x$축$\displaystyle (x<0)$, $\displaystyle y$축$\displaystyle (y>0)$으로 둘러싸인 도형의 넓이가 최대가 되어야 한다. 고정된 $\displaystyle q$와 $\displaystyle r$에 대하여, $\displaystyle p$의 값이 최소일 때 이 넓이는 최대가 된다. 이제 [문제 3-ⅱ]의 풀이에서 구한 표에 있는 순서쌍 $\displaystyle (p,q,r)$로부터, $\displaystyle g(x)=0$의 음수인 근 $\displaystyle \gamma$를 구하여, 위에서 구한 넓이 공식에 대입하면, 아래에 표에 있는 것과 같은 값을 얻는다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline (A,B,C) & (p,q,r) & \gamma & \text{넓이} \\ \hline (3,8,3) & (4,3,1) & -\frac{1}{4} & \frac{1}{32} \\ \hline (4,6,4) & (3,2,1) & -\frac{1}{3} & \frac{7}{108} \\ \hline \end{array}$이로부터 넓이가 최소가 되는 경우는 $\displaystyle (A,B,C)=(3,8,3)$인 경우이고, 이때, 넓이의 값은 $\displaystyle \frac{1}{32}$임을 알 수 있다.