자연계 2교시 1번

$\displaystyle h(x)=A(x)-D(x)$라 했을 때 $\displaystyle h(x)\ge0$임을 보이면 된다. $\displaystyle h^{\prime}(x)=(3x+2)(x-2)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle (0,3.5)$에서 $\displaystyle x=2$일 때 최소가 된다. $\displaystyle h(2)=0$이므로 구간 $\displaystyle (0,3.5)$에서 $\displaystyle h(x)\ge0$을 얻는다. 즉 $\displaystyle D(x)\le A(x)$이므로, <제시문 2>의 조건에 의해 $\displaystyle g(x)\le D(x)\le A(x)\le f(x)$가 되어 $\displaystyle g(x)\le f(x)$가 성립한다.

모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)\ge A(x)$이므로, 함수 $\displaystyle k(x)=f(x)-A(x)$는 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle k(x)\ge0$이다. 한편 $\displaystyle k(1)=f(1)-A(1)=8-8=0$이므로 $\displaystyle k(1)$은 $\displaystyle y=k(x)$의 최솟값이다. $\displaystyle y=k(x)$가 열린구간 $\displaystyle (0,3.5)$에서 미분가능한 함수이므로 $\displaystyle y=k(x)$는 $\displaystyle x=1$일 때 극솟값을 가진다. 따라서 <제시문 1>에 의해 $\displaystyle k^{\prime}(1)=f^{\prime}(1)-A^{\prime}(1)=0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(1)=-1$이다.

극한값이 존재하려면$\displaystyle \lim_{h\to0}(f(a+3h)-g(a+5h))=f(a)-g(a)=0$이 되어야 한다. 따라서 $\displaystyle f(a)=g(a)$이고 [문제 1-ⅰ]의 풀이에 의해 $\displaystyle a=2$가 된다. 이때, $\displaystyle f(2)=A(2)=D(2)=g(2)$이고 항상 $\displaystyle f(x)\ge A(x)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(2)=A^{\prime}(2)=2$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle g^{\prime}(2)=D^{\prime}(2)=2$이다. 따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle f^{\prime}(2)=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=2,\qquad g^{\prime}(2)=\lim_{h\to0}\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=2$그러면 구해야 하는 극한값은 다음과 같이 얻어진다.$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{h\to0}\frac{f(2+3h)-g(2+5h)}{h} &=\lim_{h\to0}\left(\frac{f(2+3h)-f(2)}{h}-\frac{g(2+5h)-g(2)}{h}\right) \\ &=\lim_{h\to0}\left(3\times\frac{f(2+3h)-f(2)}{3h}-5\times\frac{g(2+5h)-g(2)}{5h}\right) \\ &=3f^{\prime}(2)-5g^{\prime}(2)=6-10=-4 \end{aligned}$

극한값이 존재하려면$\displaystyle \lim_{h\to0}(f(b+4h)-g(b-3h)-22)=f(b)-g(b)-22=0$이 되어야 한다. 따라서 $\displaystyle f(b)-g(b)=22$이 된다. 조건에 의해 $\displaystyle f(x)-g(x)\le B(x)-C(x)$이다.이제 함수 $\displaystyle p(x)=B(x)-C(x)$을 생각하자. $\displaystyle p^{\prime}(x)=-4(x-1)(x-2)(x-3)$이므로 구간 $\displaystyle (0,3.5)$에서 $\displaystyle p(x)$의 최댓값은 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=3$에서 얻어진다. 그런데 $\displaystyle p(1)=p(3)=22$이므로 $\displaystyle b=1$ 또는 $\displaystyle b=3$을 얻는다.여기서 $\displaystyle f(b)=B(b)$이고 $\displaystyle g(b)=C(b)$이고 항상 $\displaystyle f(x)\le B(x)$와 $\displaystyle g(x)\ge C(x)$이 성립하므로 $\displaystyle f^{\prime}(b)=B^{\prime}(b)$와 $\displaystyle g^{\prime}(b)=C^{\prime}(b)$을 얻는다. 그런데 $\displaystyle B^{\prime}(1)=B^{\prime}(3)=1$와 $\displaystyle C^{\prime}(1)=C^{\prime}(3)=1$이므로 $\displaystyle b=1$와 $\displaystyle b=3$일 때 모두 $\displaystyle f^{\prime}(b)=g^{\prime}(b)=1$이 된다. 따라서 구해야 하는 극한값은 다음과 같이 얻어진다.$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{h\to0}\frac{f(b+4h)-g(b-3h)-22}{h} &=\lim_{h\to0}\frac{f(b+4h)-g(b-3h)-f(b)+g(b)}{h} \\ &=\lim_{h\to0}\left(\frac{f(b+4h)-f(b)}{h}-\frac{g(b-3h)-g(b)}{h}\right) \\ &=\lim_{h\to0}\left(4\times\frac{f(b+4h)-f(b)}{4h}-(-3)\times\frac{g(b-3h)-g(b)}{-3h}\right) \\ &=4f^{\prime}(b)+3g^{\prime}(b)=7 \end{aligned}$