자연계 1교시 2번

두 직선 $\displaystyle L_{1},L_{2}$의 기울기를 $\displaystyle k$라 하면, 두 직선의 방정식은$\displaystyle L_{1}:y=kx+p,\quad L_{2}:y=kx$이다. $\displaystyle L_{2}$와 $\displaystyle y=x^{2}$의 교점은 $\displaystyle \mathrm{B}(0,0)$와 $\displaystyle \mathrm{C}(k,k^{2})$이고, 이로부터 $\displaystyle \mathrm{M}_{2}\left(\frac{k}{2},\frac{k^{2}}{2}\right)$이다.두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{D}$의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle x_{1},x_{2}$라 하면, 이차방정식 $\displaystyle x^{2}-kx-p=0$의 해이므로$\displaystyle x_{1}+x_{2}=k,\qquad x_{1}x_{2}=-p$와 $\displaystyle \mathrm{M}_{1}\left(\frac{k}{2},\frac{k^{2}}{2}+p\right)$를 얻을 수 있다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2}$의 $\displaystyle x$좌표가 같고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}_{1}}=5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}_{2}}=1$이므로,$\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{k}{2},\frac{k^{2}}{2}+1\right),\qquad\overline{\mathrm{M}_{1}\mathrm{M}_{2}}=p=6$이다. 직선 $\displaystyle \mathrm{BP}$의 방정식이 $\displaystyle y=\left(\frac{\frac{k^{2}}{2}+1}{\frac{k}{2}}\right)x=\left(\frac{k^{2}+2}{k}\right)x$이고, 이 직선과 그래프 $\displaystyle y=x^{2}$의 교점 중의 하나가 점 $\displaystyle \mathrm{D}$이므로,$\displaystyle (x_{2},kx_{2}+p)=\left(\frac{k^{2}+2}{k},\left(\frac{k^{2}+2}{k}\right)^{2}\right)$를 얻게 된다. 즉,$\displaystyle kx_{2}+p=k\left(k+\frac{2}{k}\right)+6=k^{2}+8=\left(\frac{k^{2}+2}{k}\right)^{2}$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle k=1$이다.따라서, 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-2,4),\mathrm{B}(0,0),\mathrm{C}(1,1),\mathrm{D}(3,9)$의 좌표를 얻게 되고, 이 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형은 사다리꼴이므로 그 넓이는$\displaystyle (5\sqrt{2}+\sqrt{2})\times\frac{6}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}=18$이다.

$\displaystyle y=x^{2}$과 원의 교점을 $\displaystyle x$좌표의 값이 작은 순으로 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$라고 하자. <제시문 1>과 같이 사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 두 대각선의 교점을 $\displaystyle \mathrm{P}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}_{1}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}_{2}$라고 하자.직선 $\displaystyle y=kx+p$가 $\displaystyle y=x^{2}$의 두 교점의 $\displaystyle x$좌표값의 합은 항상 $\displaystyle k$이다. <제시문 2>의 조건으로부터 두 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$와 $\displaystyle \mathrm{BC}$가 서로 평행이고, 그 기울기를 $\displaystyle k$라 하면, $\displaystyle \mathrm{M}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{M}_{2}$는 $\displaystyle y$축과 평행한 직선 $\displaystyle x=\frac{k}{2}$ 위에 놓이게 된다. <제시문 2>의 조건에 의해 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$가 한 원 위에 있으므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{1}\mathrm{M}_{2}$는 원의 중심을 지나게 되고 두 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$와 $\displaystyle \mathrm{BC}$는 수직이다. 따라서, $\displaystyle k=0$이다.Correction. 서로 수직인 것은 $\displaystyle AD$와 $\displaystyle BC$가 아니라, 선분 $\displaystyle M_1M_2$와 두 직선 $\displaystyle AD$, $\displaystyle BC$ 각각이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이제, 점 $\displaystyle \mathrm{C},\mathrm{D}$가 $\displaystyle y=x^{2}$ 위의 점이므로, $\displaystyle \mathrm{C}(\sqrt{a},a),\mathrm{D}(\sqrt{b},b)\ (b>a>0)$라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$를 지나는 원의 방정식을 $\displaystyle x^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$이라 하면,$\displaystyle y^{2}+(1-2k)y+k^{2}-r^{2}=0$의 두 근이 $\displaystyle a,b$이므로, 근과 계수의 관계에 의해$\displaystyle a+b=2k-1,\ ab=k^{2}-r^{2}$이다. 따라서, $\displaystyle k=\frac{a+b+1}{2}$, $\displaystyle r^{2}=\left(\frac{a+b+1}{2}\right)^{2}-ab$이다. $\displaystyle r=4$이므로 $\displaystyle \left(\frac{a+b+1}{2}\right)^{2}-ab=16$이고 <제시문 2>의 조건으로부터 $\displaystyle \frac{a+b+1}{2}$는 정수이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle (b-a)^{2}+2(a+b)=63$이고 $\displaystyle b-a$는 홀수이다. 이로부터 가능한 경우는 다음 표와 같다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline b-a & b+a & a & b \\ \hline 1 & 31 & 15 & 16 \\ \hline 3 & 27 & 12 & 15 \\ \hline 5 & 19 & 7 & 12 \\ \hline \end{array}$사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 넓이는 $\displaystyle (\sqrt{b}+\sqrt{a})(b-a)$이므로 각 경우의 넓이는$\displaystyle \sqrt{16}+\sqrt{15},\quad3(\sqrt{15}+\sqrt{12}),\quad5(\sqrt{12}+\sqrt{7})$이다.

<제시문 3>의 조건과 $\displaystyle x_{3}=\sqrt{m}$, $\displaystyle x_{4}=\sqrt{n}$이므로 $\displaystyle g(x)=-(x^{2}-m)(x^{2}-n)$이다. $\displaystyle y=x^{2}$과 $\displaystyle y=g(x)$가 네 개의 점에서 만나기 위해서는 $\displaystyle y=-(y-m)(y-n)$, 즉$\displaystyle y^{2}-(m+n-1)y+mn=0$이 서로 다른 두 실근 $\displaystyle a,b\ (0<a<b)$를 가져야 한다. 따라서,$\displaystyle D=(m+n-1)^{2}-4mn=(m-n)^{2}-2(m+n)+1>0\qquad\cdots\cdots$①이다. 한편, $\displaystyle \mathrm{S}(\sqrt{a},a),\mathrm{T}(\sqrt{b},b)$라 하면, 네 점 $\displaystyle \mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T}$를 지나는 원의 방정식은 [문제 2-ⅱ]에서와 같이$\displaystyle x^{2}+\left(y-\frac{a+b+1}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a+b+1}{2}\right)^{2}-ab$이다. 근과 계수의 관계로부터$\displaystyle a+b=m+n-1,\ ab=mn$이므로, 원의 방정식은$\displaystyle x^{2}+\left(y-\frac{m+n}{2}\right)^{2}=\left(\frac{m-n}{2}\right)^{2}$이고, $\displaystyle n-m=20$이다. 이를 ①에 대입하면 $\displaystyle m+n\le200$이 성립한다. 따라서, 가능한 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$은$\displaystyle (1,21),(2,22),\ \cdots,\ (90,110)$이다. 이 중에서 완전제곱수인 $\displaystyle m$은 $\displaystyle m=1,4,9,16,25,36,49,64,81$의 $\displaystyle 9$가지이고, 완전제곱수인 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n=25,36,49,64,81,100$의 $\displaystyle 6$가지이다. 여기서 $\displaystyle (m,n)=(16,36)$은 중복해서 발생하므로 $\displaystyle 9+6-1=14$가지를 제외해야 한다. 따라서, 문제의 개수는 $\displaystyle 90-14=76$이다.