자연계열 1번

■ 1-1$\displaystyle f(x)=x-\sin x$라 하면, $\displaystyle f(0)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\cos x\ge0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 값은 $\displaystyle x>0$에서 항상 양수이다. 즉,$\displaystyle \sin x\le x$, $\displaystyle x\ge0$이다.

따라서 $\displaystyle \frac\pi2\le x\le\pi$에서 $\displaystyle \sin\left(\frac1x\right)\le\frac1x$이므로$\displaystyle x^2\sin\left(\frac1x\right)\le\frac{x^2}{x}=x$이다.

따라서 제시문 <가>에 의해$\displaystyle \int_{\frac\pi2}^{\pi}x^2\sin\left(\frac1x\right)\,dx\le\int_{\frac\pi2}^{\pi}x\,dx$이다. 그런데$\displaystyle \int_{\frac\pi2}^{\pi}x\,dx=\Biggl[\frac12x^2\Biggr]_{\frac\pi2}^{\pi}=\frac{3\pi^2}{8}$이므로$\displaystyle \int_{\frac\pi2}^{\pi}x^2\sin\left(\frac1x\right)\,dx\le\frac{3\pi^2}{8}$이다.

■ 1-2$\displaystyle 1\le x\le2$일 때 $\displaystyle \frac{x^3}{x^6+x^3+1}=\frac1{\frac{x^6+x^3+1}{x^3}}=\frac1{x^3+\frac1{x^3}+1}$이므로 제시문 <나>에 의해

$\displaystyle \frac1{\left(x^3+\frac1{x^3}\right)+1}\le\frac1{2+1}=\frac13$이다.

따라서 제시문 <가>에 의해$\displaystyle \int_1^2\frac{x^3}{x^6+x^3+1}\,dx\le\int_1^2\frac13\,dx=\frac13$이다.