자연계열 3번

■ 3-1양수 $\displaystyle k$에 대하여 직선$\displaystyle y=x+4+k$와 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프가 다음과 같이 세 점에서 만난다. 곡선 $\displaystyle y=(x+2)^2$와 직선 $\displaystyle y=x+4+k$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 방정식$\displaystyle (x+2)^2=x+4+k$의 근이다. 이 방정식은 $\displaystyle x^2+3x-k=0$이고, 판별식은 $\displaystyle 9+4k>0$이므로 서로 다른 두 실근을 가진다. 이때, 두 근의 곱이 $\displaystyle -k<0$이므로 이 직선은 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 $\displaystyle x<0$인 부분과 한 점에서 만난다.

또한 곡선 $\displaystyle y=(x-2)^2+k$와 직선 $\displaystyle y=x+4+k$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 방정식$\displaystyle (x-2)^2+k=x+4+k$,즉 $\displaystyle x^2-5x=0$의 근 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle 5$이다. 따라서 직선 $\displaystyle y=x+4+k$는 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 $\displaystyle x\ge0$인 부분과 두 점에서 만난다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x+4+k$는 서로 다른 세 점에서만 만난다.

■ 3-2함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프와 서로 다른 네 점에서 만나는 직선이 $\displaystyle y=mx+n$이라고 하면, 이 직선은 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 왼쪽 부분($\displaystyle x<0$), 오른쪽 부분($\displaystyle x\ge0$)과 각각 두 점에서 만나야 한다. 즉, 방정식 $\displaystyle (x+2)^2=mx+n$이 서로 다른 두 음의 실근을 가져야 하며, 동시에 방정식 $\displaystyle -(x-2)^2+k=mx+n$은 서로 다른 두 음이 아닌 실근을 가져야 한다.

방정식 $\displaystyle (x+2)^2=mx+n$은 $\displaystyle x^2-(m-4)x+4-n=0$이고 서로 다른 두 음의 실근을 갖기 위해서는 판별식이 $\displaystyle 0$보다 크고, 두 근의 합이 음수, 두 근의 곱이 양수이어야 한다. 따라서 조건$\displaystyle (m-4)^2-4(4-n)>0$ ……①$\displaystyle m-4<0$ ……②$\displaystyle 4-n>0$ ……③을 만족시켜야 한다.

한편, 방정식 $\displaystyle -(x-2)^2+k=mx+n$은 $\displaystyle x^2+(m-4)x+n+4-k=0$이고 서로 다른 두 음이 아닌 실근을 갖기 위해서는 판별식이 $\displaystyle 0$보다 크고, 두 근의 합이 양수, 두 근의 곱이 $\displaystyle 0$ 이상이어야 한다. 따라서 조건$\displaystyle (m-4)^2-4(n+4-k)>0$ ……④$\displaystyle m-4<0$ ……⑤$\displaystyle n+4-k\ge0$ ……⑥을 만족시켜야 한다.

그러므로$\displaystyle k-4\le n<4$ ……⑦ (③과 ⑥에서)$\displaystyle -\frac14(m-4)^2+4<n<\frac14(m-4)^2+k-4$ ……⑧ (①과 ④에서)$\displaystyle m<4$ ……⑨ (②와 ⑤에서)를 만족시키는 $\displaystyle m$과 $\displaystyle n$이 존재하여야 한다. ⑦을 만족시키는 $\displaystyle n$이 존재하려면 $\displaystyle k<8$이어야 한다. 이때 ⑧을 만족시키는 $\displaystyle n$이 존재하기 위해서는$\displaystyle -\frac14(m-4)^2+4<\frac14(m-4)^2+k-4$이기 때문에$\displaystyle k>8-\frac12(m-4)^2$이다. 따라서 ⑨에 의해 $\displaystyle m<4-\sqrt{2(8-k)}$를 만족시키는 $\displaystyle m$은 존재한다. 이 $\displaystyle m$에 대해$\displaystyle -\frac14(m-4)^2+4<4$이고, $\displaystyle k-4<\frac14(m-4)^2+k-4$이므로 ⑦과 ⑧을 만족시키는 $\displaystyle n$이 존재한다. 따라서 답은 $\displaystyle k<8$이다.