약학부 1번

숙명여대 2027학년도 모의 약학부 1번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2027mo/yakhak_1

<가>두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때,(1) $\displaystyle f(x)\ge0$ 이면, $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\ge0$ (2) $\displaystyle f(x)\le g(x)$ 이면, $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx$

<나> $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle b>0$ 이면, $\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$

<다>함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ 에 대하여(1) $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$ 이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 증가한다고 한다.(2) $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)>f(x_2)$ 이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 감소한다고 한다.

제시문을 읽고 다음 문제에 답하시오.

1-1. 부등식 $\displaystyle \int_1^2\frac{x^3}{x^6+x^3+1}\,dx\le\frac13$ 이 성립함을 증명하시오.

1-2. 부등식 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\cos(x^2)\,dx\ge\frac12$ 이 성립함을 증명하시오.

해설강의 준비중

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1단계 · <1-1>에서 절대부등식을 적용할 수 있는 유리함수로 바꾼다.

■ 1-1 $\displaystyle 1\le x\le2$ 일 때 $\displaystyle \frac{x^3}{x^6+x^3+1}=\frac1{\frac{x^6+x^3+1}{x^3}}=\frac1{x^3+\frac1{x^3}+1}$ 이므로 제시문 <나>에 의해

2단계 · <1-1>에서 절대부등식을 이용하여

\displaystyle \frac1{\left(x^3+\frac1{x^3}\right)+1}\le\frac13

인 부등식을 도출한다

$\displaystyle \frac1{\left(x^3+\frac1{x^3}\right)+1}\le\frac1{2+1}=\frac13$ 이다.

3단계 · <1-1>에서 정적분의 크기 관계를 이용하여 부등식을 보인다.

따라서 제시문 <가>에 의해 $\displaystyle \int_1^2\frac{x^3}{x^6+x^3+1}\,dx\le\int_1^2\frac13\,dx=\frac13$ 이다.

4단계 · <1-2>에서

\displaystyle 0\le x<1

에서

\displaystyle x^2\le x

임을 보인다.

■ 1-2 $\displaystyle 0\le x\le\frac\pi6$ 이면 $\displaystyle \frac\pi6<1$ 이므로 $\displaystyle 0\le x<1$ 이다. 따라서 $\displaystyle x^2\le x$ 이다.

5단계 · <1-2>에서

\displaystyle \cos(x^2)\ge\cos x

인 부등식을 도출한다.

또한 $\displaystyle 0\le x^2\le x\le\frac\pi6$ 이고, 함수 $\displaystyle y=\cos x$ 는 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi6\right]$ 에서 감소하므로 제시문 <다>에 의해 $\displaystyle \cos(x^2)\ge\cos x$ 이다.

6단계 · <1-2>에서 정적분의 크기 관계를 이용하여 부등식을 보인다.

따라서 제시문 <가>에 의해 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\cos(x^2)\,dx\ge\int_0^{\frac\pi6}\cos x\,dx$ 이다. 그런데 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\cos x\,dx=\Biggl[\sin x\Biggr]_0^{\frac\pi6}=\sin\frac\pi6=\frac12$ 이므로 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\cos(x^2)\,dx\ge\frac12$ 이다.

등급	기준
1등급	위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우
2등급	위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우
3등급	위의 6가지 기준 중 5가지 요건을 만족하는 경우
4등급	위의 6가지 기준 중 ②과 ⑤ 요건을 충족시키고 나머지 요건 중 2가지를 만족시키는 경우
5등급	위의 6가지 기준 중 4가지 요건을 만족하는 경우(4등급 기준 제외)
6등급	위의 6가지 기준 중 3가지 요건을 만족하는 경우
7등급	위의 6가지 기준 중 2가지 요건을 만족하는 경우
8등급	위의 6가지 기준 중 1가지 요건을 만족하는 경우
9등급	위의 6가지 기준을 전혀 충족시키지 못한 경우

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

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