약학부 1번

■ 1-1$\displaystyle 1\le x\le2$일 때 $\displaystyle \frac{x^3}{x^6+x^3+1}=\frac1{\frac{x^6+x^3+1}{x^3}}=\frac1{x^3+\frac1{x^3}+1}$이므로 제시문 <나>에 의해

$\displaystyle \frac1{\left(x^3+\frac1{x^3}\right)+1}\le\frac1{2+1}=\frac13$이다.

따라서 제시문 <가>에 의해$\displaystyle \int_1^2\frac{x^3}{x^6+x^3+1}\,dx\le\int_1^2\frac13\,dx=\frac13$이다.

■ 1-2$\displaystyle 0\le x\le\frac\pi6$이면 $\displaystyle \frac\pi6<1$이므로 $\displaystyle 0\le x<1$이다. 따라서$\displaystyle x^2\le x$이다.

또한 $\displaystyle 0\le x^2\le x\le\frac\pi6$이고, 함수 $\displaystyle y=\cos x$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi6\right]$에서 감소하므로 제시문 <다>에 의해$\displaystyle \cos(x^2)\ge\cos x$이다.

따라서 제시문 <가>에 의해$\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\cos(x^2)\,dx\ge\int_0^{\frac\pi6}\cos x\,dx$이다. 그런데$\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\cos x\,dx=\Biggl[\sin x\Biggr]_0^{\frac\pi6}=\sin\frac\pi6=\frac12$이므로$\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\cos(x^2)\,dx\ge\frac12$이다.