자연계열 2번

■ 2-1$\displaystyle b_n=e^{a_n}=e^{a+(n-1)d}=e^a(e^d)^{n-1}$이므로, 수열 $\displaystyle \{b_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle b=e^a$, 공비가 $\displaystyle r=e^d$인 등비수열이다.

제시문 <다>에 의해 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$이 수렴하기 위한 조건은 $\displaystyle e^d<1$이다. 따라서 $\displaystyle d$의 값의 범위는 $\displaystyle d<0$이다.

이때 이 급수의 합은$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\frac b{1-r}=\frac{e^a}{1-e^d}$

■ 2-2급수 $\displaystyle T=\sum_{n=1}^{\infty}nb_{2n}$이라고 하면 $\displaystyle b_{2n}=e^{a+d(2n-1)}=(e^{a+d})(e^{2d})^{n-1}$이므로 수열 $\displaystyle \{b_{2n}\}$은 첫째항이 $\displaystyle e^{a+d}$, 공비가 $\displaystyle e^{2d}$인 등비수열이다.

문항의 조건 $\displaystyle e^a+e^d=1$에 의해 $\displaystyle 0<e^{2d}<1$이므로, 제시문 <다>에 의해

$\displaystyle T=\frac{e^{a+d}}{(1-e^{2d})^2}=\frac{e^{a+d}}{((1+e^d)(1-e^d))^2}$이다. $\displaystyle 1-e^d=e^a$, $\displaystyle 1+e^d=2-e^a$이므로$\displaystyle T=\frac{1-e^a}{e^a(2-e^a)^2}$