수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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숙명여대 2027학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2027mo/jayeon_2

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문제

<다>첫째항이 b\displaystyle b (b≠0\displaystyle b\ne0), 공비가 r\displaystyle r (r≠1\displaystyle r\ne1)인 등비수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n이라고 하면Sn=b(1−rn)1−r\displaystyle S_n=\frac{b(1-r^n)}{1-r}이고, 등비급수 ∑n=1∞brn−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}br^{n-1}은∣r∣<1\displaystyle |r|<1일 때 수렴하고 그 합은 b1−r\displaystyle \frac b{1-r},∣r∣≥1\displaystyle |r|\ge1일 때 발산한다.Tn=b+2br+3br2+⋯+nbrn−1=∑k=1nkbrk−1\displaystyle T_n=b+2br+3br^2+\cdots+nbr^{n-1}=\sum_{k=1}^nkbr^{k-1}이라고 하면Tn−rTn=(1−r)Tn=b+br+br2+⋯+brn−1−nbrn=Sn−nbrn\displaystyle T_n-rT_n=(1-r)T_n=b+br+br^2+\cdots+br^{n-1}-nbr^n=S_n-nbr^n이 되고 Tn=Sn−nbrn1−r\displaystyle T_n=\frac{S_n-nbr^n}{1-r}이 된다. ∣r∣<1\displaystyle |r|<1일 때, lim⁡n→∞nrn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}nr^n=0임이 알려져 있으므로lim⁡n→∞Tn=lim⁡n→∞Sn−nbrn1−r=b(1−r)2\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\lim_{n\to\infty}\frac{S_n-nbr^n}{1-r}=\frac b{(1-r)^2}따라서 ∑n=1∞nbrn−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nbr^{n-1}은 수렴하고 그 합은 b(1−r)2\displaystyle \frac b{(1-r)^2}이다.

수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 첫째항이 a\displaystyle a, 공차가 d\displaystyle d인 등차수열이고 bn=ean\displaystyle b_n=e^{a_n}이다. 제시문을 읽고 다음 문제에 답하시오.

2-1. 급수 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n이 수렴하기 위한 d\displaystyle d의 값의 범위를 구하고, 이 급수의 합을 구하시오.

2-2. ea+ed=1\displaystyle e^a+e^d=1일 때, 급수 ∑n=1∞nb2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nb_{2n}의 합을 a\displaystyle a에 대한 식으로 나타내시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2027학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2027mo/jayeon_2

1단계 · <2-1>에서 bn=ean\displaystyle b_n=e^{a_n}이 등비수열임을 보인다.

■ 2-1bn=ean=ea+(n−1)d=ea(ed)n−1\displaystyle b_n=e^{a_n}=e^{a+(n-1)d}=e^a(e^d)^{n-1}이므로, 수열 {bn}\displaystyle \{b_n\}은 첫째항이 b=ea\displaystyle b=e^a, 공비가 r=ed\displaystyle r=e^d인 등비수열이다.

2단계 · <2-1>에서 급수가 수렴하는 공차 값의 범위를 구한다.

제시문 <다>에 의해 급수 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n이 수렴하기 위한 조건은 ed<1\displaystyle e^d<1이다. 따라서 d\displaystyle d의 값의 범위는 d<0\displaystyle d<0이다.

3단계 · <2-1>에서 극한값을 구한다.

이때 이 급수의 합은∑n=1∞bn=b1−r=ea1−ed\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\frac b{1-r}=\frac{e^a}{1-e^d}

4단계 · <2-2>에서 {b2n}\displaystyle \{b_{2n}\}이 첫째항이 ea+d\displaystyle e^{a+d}, 공비가 e2d\displaystyle e^{2d}인 등비수열임을 보인다.

■ 2-2급수 T=∑n=1∞nb2n\displaystyle T=\sum_{n=1}^{\infty}nb_{2n}이라고 하면 b2n=ea+d(2n−1)=(ea+d)(e2d)n−1\displaystyle b_{2n}=e^{a+d(2n-1)}=(e^{a+d})(e^{2d})^{n-1}이므로 수열 {b2n}\displaystyle \{b_{2n}\}은 첫째항이 ea+d\displaystyle e^{a+d}, 공비가 e2d\displaystyle e^{2d}인 등비수열이다.

5단계 · <2-2>에서 급수의 합이 수렴하는 조건을 만족함을 보인다.

문항의 조건 ea+ed=1\displaystyle e^a+e^d=1에 의해 0<e2d<1\displaystyle 0<e^{2d}<1이므로, 제시문 <다>에 의해

6단계 · <2-2>에서 급수의 합을 구한다.

T=ea+d(1−e2d)2=ea+d((1+ed)(1−ed))2\displaystyle T=\frac{e^{a+d}}{(1-e^{2d})^2}=\frac{e^{a+d}}{((1+e^d)(1-e^d))^2}이다. 1−ed=ea\displaystyle 1-e^d=e^a, 1+ed=2−ea\displaystyle 1+e^d=2-e^a이므로T=1−eaea(2−ea)2\displaystyle T=\frac{1-e^a}{e^a(2-e^a)^2}

등급기준
1등급위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우
2등급위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우
3등급위의 6가지 기준 중 5가지 요건을 만족하는 경우
4등급위의 6가지 기준 중 ③과 ⑥ 요건을 충족시키고 나머지 요건 중 2가지를 만족시키는 경우
5등급위의 6가지 기준 중 4가지 요건을 만족하는 경우(4등급 기준 제외)
6등급위의 6가지 기준 중 3가지 요건을 만족하는 경우
7등급위의 6가지 기준 중 2가지 요건을 만족하는 경우
8등급위의 6가지 기준 중 1가지 요건을 만족하는 경우
9등급위의 6가지 기준을 전혀 충족시키지 못한 경우

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

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