약학부 2번

■ 2-1$\displaystyle a_n=ar^{n-1}$이므로 $\displaystyle \ln a_k=\ln a+(k-1)\ln r$이다. 따라서$\displaystyle A_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln a_k=\ln a+\frac{n-1}{2}\ln r$한편,$\displaystyle C_n=e^{A_n}=e^{\ln a+\frac{n-1}{2}\ln r}=ar^{\frac{n-1}{2}}$이므로

$\displaystyle \frac{B_3}{C_3}=\frac{\frac{a+ar+ar^2}{3}}{ar}=\frac{r^2+r+1}{3r}\le\frac76$

따라서 $\displaystyle 2r^2-5r+2\le0$이므로 $\displaystyle \frac12\le r\le2$이다.

■ 2-2$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\ln a_n&=\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}\ln(ar^{n-1})\\&=\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}(\ln a+(n-1)\ln r)\\&=a\ln a\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}+a\ln r\sum_{n=1}^{\infty}nr^{n-1}-a\ln r\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}\end{aligned}$

문항의 조건 $\displaystyle a+r=1$에 의해 $\displaystyle 0<r<1$이므로, 제시문 <라>에 의해 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}=\frac1{1-r}$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nr^{n-1}=\frac1{(1-r)^2}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{n}a_n\ln a_n&=\frac a{1-r}\ln a+\frac{a\ln r}{(1-r)^2}-\frac a{1-r}\ln r\\&=\ln a+\frac1a\ln(1-a)-\ln(1-a)\\&=\ln\left(\frac a{1-a}(1-a)^{1/a}\right)\end{aligned}$Correction. 마지막 정리식의 합 기호 상한 $\displaystyle n$은 $\displaystyle \infty$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.