수리논술, 이게 다다.

약학부 2번

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숙명여대 2027학년도 모의 약학부 2번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2027mo/yakhak_2

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<라>첫째항이 b\displaystyle b (b≠0\displaystyle b\ne0), 공비가 r\displaystyle r (r≠1\displaystyle r\ne1)인 등비수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n이라고 하면Sn=b(1−rn)1−r\displaystyle S_n=\frac{b(1-r^n)}{1-r}이고, 등비급수 ∑n=1∞brn−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}br^{n-1}은∣r∣<1\displaystyle |r|<1일 때 수렴하고 그 합은 b1−r\displaystyle \frac b{1-r},∣r∣≥1\displaystyle |r|\ge1일 때 발산한다.Tn=b+2br+3br2+⋯+nbrn−1=∑k=1nkbrk−1\displaystyle T_n=b+2br+3br^2+\cdots+nbr^{n-1}=\sum_{k=1}^nkbr^{k-1}이라고 하면Tn−rTn=(1−r)Tn=b+br+br2+⋯+brn−1−nbrn=Sn−nbrn\displaystyle T_n-rT_n=(1-r)T_n=b+br+br^2+\cdots+br^{n-1}-nbr^n=S_n-nbr^n이 되고 Tn=Sn−nbrn1−r\displaystyle T_n=\frac{S_n-nbr^n}{1-r}이 된다. ∣r∣<1\displaystyle |r|<1일 때, lim⁡n→∞nrn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}nr^n=0임이 알려져 있으므로lim⁡n→∞Tn=lim⁡n→∞Sn−nbrn1−r=b(1−r)2\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\lim_{n\to\infty}\frac{S_n-nbr^n}{1-r}=\frac b{(1-r)^2}따라서 ∑n=1∞nbrn−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nbr^{n-1}은 수렴하고 그 합은 b(1−r)2\displaystyle \frac b{(1-r)^2}이다.

수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 첫째항이 a\displaystyle a (a>0\displaystyle a>0), 공비가 r\displaystyle r (r>0\displaystyle r>0)인 등비수열이다. An=1n∑k=1nln⁡ak\displaystyle A_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln a_k, Bn=1n∑k=1nak\displaystyle B_n=\frac1n\sum_{k=1}^na_k일 때, 제시문을 읽고 다음 문제에 답하시오.

2-1. Cn=eAn\displaystyle C_n=e^{A_n}일 때, B3C3≤76\displaystyle \frac{B_3}{C_3}\le\frac76을 만족시키는 r\displaystyle r의 값의 범위를 구하시오.

2-2. a+r=1\displaystyle a+r=1일 때, 급수 ∑n=1∞anln⁡an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\ln a_n의 합을 a\displaystyle a에 대한 식으로 나타내시오.

해설강의 준비중

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1단계 · <2-1>에서 C3\displaystyle C_3을 계산한다.

■ 2-1an=arn−1\displaystyle a_n=ar^{n-1}이므로 ln⁡ak=ln⁡a+(k−1)ln⁡r\displaystyle \ln a_k=\ln a+(k-1)\ln r이다. 따라서An=1n∑k=1nln⁡ak=ln⁡a+n−12ln⁡r\displaystyle A_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln a_k=\ln a+\frac{n-1}{2}\ln r한편,Cn=eAn=eln⁡a+n−12ln⁡r=arn−12\displaystyle C_n=e^{A_n}=e^{\ln a+\frac{n-1}{2}\ln r}=ar^{\frac{n-1}{2}}이므로

2단계 · <2-1>에서 해당 부등식이 공비의 이차부등식으로 표시됨을 보인다.

B3C3=a+ar+ar23ar=r2+r+13r≤76\displaystyle \frac{B_3}{C_3}=\frac{\frac{a+ar+ar^2}{3}}{ar}=\frac{r^2+r+1}{3r}\le\frac76

3단계 · <2-1>에서 이차부등식을 만족하는 공비의 값의 범위를 구한다.

따라서 2r2−5r+2≤0\displaystyle 2r^2-5r+2\le0이므로 12≤r≤2\displaystyle \frac12\le r\le2이다.

4단계 · <2-2>에서 anln⁡an\displaystyle a_n\ln a_n이 등비수열과 등차수열의 곱임을 보인다.

■ 2-2∑n=1∞anln⁡an=∑n=1∞arn−1ln⁡(arn−1)=∑n=1∞arn−1(ln⁡a+(n−1)ln⁡r)=aln⁡a∑n=1∞rn−1+aln⁡r∑n=1∞nrn−1−aln⁡r∑n=1∞rn−1\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\ln a_n&=\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}\ln(ar^{n-1})\\&=\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}(\ln a+(n-1)\ln r)\\&=a\ln a\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}+a\ln r\sum_{n=1}^{\infty}nr^{n-1}-a\ln r\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}\end{aligned}

5단계 · <2-2>에서 급수의 합이 수렴하는 조건을 만족하고 급수의 합을 구한다.

문항의 조건 a+r=1\displaystyle a+r=1에 의해 0<r<1\displaystyle 0<r<1이므로, 제시문 <라>에 의해 ∑n=1∞rn−1=11−r\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}=\frac1{1-r}, ∑n=1∞nrn−1=1(1−r)2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nr^{n-1}=\frac1{(1-r)^2}이다.

6단계 · <2-2>에서 주어진 조건을 이용하여 극한값을 첫째항에 대한 식으로 보인다.

따라서∑n=1nanln⁡an=a1−rln⁡a+aln⁡r(1−r)2−a1−rln⁡r=ln⁡a+1aln⁡(1−a)−ln⁡(1−a)=ln⁡(a1−a(1−a)1/a)\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{n}a_n\ln a_n&=\frac a{1-r}\ln a+\frac{a\ln r}{(1-r)^2}-\frac a{1-r}\ln r\\&=\ln a+\frac1a\ln(1-a)-\ln(1-a)\\&=\ln\left(\frac a{1-a}(1-a)^{1/a}\right)\end{aligned}Correction. 마지막 정리식의 합 기호 상한 n\displaystyle n은 ∞\displaystyle \infty의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

등급기준
1등급위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우
2등급위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우
3등급위의 6가지 기준 중 5가지 요건을 만족하는 경우
4등급위의 6가지 기준 중 ③과 ⑥ 요건을 충족시키고 나머지 요건 중 2가지를 만족시키는 경우
5등급위의 6가지 기준 중 4가지 요건을 만족하는 경우(4등급 기준 제외)
6등급위의 6가지 기준 중 3가지 요건을 만족하는 경우
7등급위의 6가지 기준 중 2가지 요건을 만족하는 경우
8등급위의 6가지 기준 중 1가지 요건을 만족하는 경우
9등급위의 6가지 기준을 전혀 충족시키지 못한 경우

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

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