약학부 3번

방정식 $\displaystyle (x+2)^2=mx+n$은 $\displaystyle x^2-(m-4)x+4-n=0$이고 서로 다른 두 음의 실근을 갖기 위해서는 판별식이 $\displaystyle 0$보다 크고, 두 근의 합이 음수, 두 근의 곱이 양수이어야 한다. 따라서 조건$\displaystyle (m-4)^2-4(4-n)>0$ ……①$\displaystyle m-4<0$ ……②$\displaystyle 4-n>0$ ……③을 만족시켜야 한다.

한편, 방정식 $\displaystyle -(x-2)^2+k=mx+n$은 $\displaystyle x^2+(m-4)x+n+4-k=0$이고 서로 다른 두 음이 아닌 실근을 갖기 위해서는 판별식이 $\displaystyle 0$보다 크고, 두 근의 합이 양수, 두 근의 곱이 $\displaystyle 0$ 이상이어야 한다. 따라서 조건$\displaystyle (m-4)^2-4(n+4-k)>0$ ……④$\displaystyle m-4<0$ ……⑤$\displaystyle n+4-k\ge0$ ……⑥을 만족시켜야 한다.

그러므로$\displaystyle k-4\le n<4$ ……⑦ (③과 ⑥에서)$\displaystyle -\frac14(m-4)^2+4<n<\frac14(m-4)^2+k-4$ ……⑧ (①과 ④에서)$\displaystyle m<4$ ……⑨ (②와 ⑤에서)를 만족시키는 $\displaystyle m$과 $\displaystyle n$이 존재하여야 한다. ⑦을 만족시키는 $\displaystyle n$이 존재하려면 $\displaystyle k<8$이어야 한다. 이때 ⑧을 만족시키는 $\displaystyle n$이 존재하기 위해서는$\displaystyle -\frac14(m-4)^2+4<\frac14(m-4)^2+k-4$이기 때문에$\displaystyle k>8-\frac12(m-4)^2$이다. 따라서 ⑨에 의해 $\displaystyle m<4-\sqrt{2(8-k)}$를 만족시키는 $\displaystyle m$은 존재한다. 이 $\displaystyle m$에 대해$\displaystyle -\frac14(m-4)^2+4<4$이고, $\displaystyle k-4<\frac14(m-4)^2+k-4$이므로 ⑦과 ⑧을 만족시키는 $\displaystyle n$이 존재한다. 따라서 답은 $\displaystyle k<8$이다.

■ 3-2평면 위의 서로 다른 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}(0,0)$, $\displaystyle \mathrm{Q}(a,0)$을 지나는 이차함수는 $\displaystyle y=kx(x-a)$(단 $\displaystyle k\ne0$)이다.

이 이차함수의 그래프가 직선 $\displaystyle y=mx+n$에 접하려면 방정식$\displaystyle kx(x-a)=mx+n$이 중근을 가져야 한다. 즉, $\displaystyle kx^2-(ka+m)x-n=0$이 중근을 가지므로 $\displaystyle (ka+m)^2+4kn=0$이다.

따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$를 지나고 직선 $\displaystyle y=mx+n$에 접하는 이차함수가 존재하려면, $\displaystyle k$에 관한 방정식$\displaystyle a^2k^2+2(am+2n)k+m^2=0$ ……①이 $\displaystyle 0$이 아닌 실근을 가져야 한다. 한편, 이 방정식의 판별식은$\displaystyle \frac D4=(am+2n)^2-a^2m^2=4n(am+n)$이다. 문항의 조건에 의해 직선 $\displaystyle y=mx+n$은 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$와 만나지 않는다. 만약 직선 $\displaystyle y=mx+n$이 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$의 아래쪽에 있다면 $\displaystyle n<0$, $\displaystyle ma+n<0$이므로 $\displaystyle \frac D4>0$이 성립하고, 직선이 두 점의 위쪽에 있다면 $\displaystyle n>0$, $\displaystyle ma+n>0$이므로 $\displaystyle \frac D4>0$이 성립한다. 따라서 방정식 ①은 서로 다른 두 실근을 가지므로, $\displaystyle 0$이 아닌 실근을 갖는다.