경상계열 2번

숭실대 2024학년도 수시 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2024su/gyeongsang_2

문제 2 제시문 [가], [나], [다], [라]를 참고하여 각 문항에 답하시오. (50점)

[가] 불확실한 상황에서 합리적인 의사 결정을 하기 위해서는 선택할 수 있는 경우들을 파악할 필요가 있다. 서로 다른 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하여 일렬로 나열하는 것을 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하는 순열이라고 하며, 이 순열의 수를 나타내는 기호는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm P_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ 이다. 한편, 서로 다른 $\displaystyle n$ 개에서 순서를 생각하지 않고 $\displaystyle r$ 개를 택하는 것을 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하는 조합이라고 하며, 이 조합의 수를 나타내는 기호는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r=\frac{n!}{(n-r)!r!}$ 이다.[나] 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 경우의 수와 확률을 각각 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle P(A)$ , 사건 $\displaystyle B$ 가 일어나는 경우의 수와 확률을 각각 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle P(B)$ 라고 하자. 이 경우 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 서로 배반일 때 두 사건 중 적어도 하나가 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle m+n$ , 확률은 $\displaystyle P(A)+P(B)$ 이며, 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 서로 독립일 때 두 사건이 동시에 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle m\times n$ , 확률은 $\displaystyle P(A)\times P(B)$ 이다. 그리고 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률은 $\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ (단, $\displaystyle P(A)>0$ )이다.[다] 동전이나 주사위 등을 여러 번 반복하여 던지는 경우와 같이 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행에서 일어나는 사건이 서로 독립이면 이와 같은 시행을 독립시행이라고 한다. 어떤 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle p(0<p<1)$ 일 때, 이 시행을 $\displaystyle n$ 번 반복하는 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 $\displaystyle r$ 번 일어날 확률은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r p^r(1-p)^{n-r}$ (단, $\displaystyle r=0,1,2,\cdots,n$ )이다.[라] 표본에서 얻은 정보를 이용하여 모평균과 같이 모집단의 특성을 나타내는 값을 추측하는 것을 추정이라고 한다. 예를 들어 정규분포 $\displaystyle N(m,\sigma^2)$ 을 따르는 모집단에서 크기가 $\displaystyle n$ 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균( $\displaystyle \overline X$ )의 실제 관측값을 $\displaystyle \overline x$ 라고 하면, 모평균 $\displaystyle m$ 에 대한 신뢰구간은 다음과 같다.신뢰도 95%인 경우의 신뢰구간: $\displaystyle \overline x-1.96\frac\sigma{\sqrt n}\le m\le\overline x+1.96\frac\sigma{\sqrt n}$ 신뢰도 99%인 경우의 신뢰구간: $\displaystyle \overline x-2.58\frac\sigma{\sqrt n}\le m\le\overline x+2.58\frac\sigma{\sqrt n}$

[문항 1] 제시문 [가], [나]를 바탕으로 물음에 답하시오.신입생인 김숭실 학생은 첫 학기에 7개의 과목을 수강하려고 한다. 김숭실 학생이 선택할 수 있는 전공 과목은 4개, 교양 과목은 5개이다.

(1-1) 김숭실 학생이 7개의 과목을 선택할 수 있는 경우의 수를 풀이과정과 함께 제시하시오.

(1-2) 김숭실 학생이 전공 과목에서 3개, 교양 과목에서 4개의 과목을 수강하려 한다면 선택할 수 있는 경우의 수를 풀이과정과 함께 제시하시오.

[문항 2] 제시문 [나], [다]를 바탕으로 물음에 답하시오.H고등학교 학생 중 S대학 지원자 100명(과거 10년의 누적 인원)에 대한 입시 결과를 조사한 결과, 지원자 중 30명이 합격한 것으로 파악되었다. 그리고 지원자들의 S대학 모의 논술고사 응시 여부를 살펴본 결과, 합격자 중 $\displaystyle \frac13$ 과 불합격자 중 $\displaystyle \frac27$ 가 모의 논술고사에 응시한 경험이 있는 것으로 파악되었다.

(2-1) 올해 S대학의 모의 논술고사에 응시한 H고등학교 학생이 S대학에 합격할 확률을 풀이과정과 함께 제시하시오.

(2-2) 올해 S대학의 모의 논술고사에 응시한 H고등학교 학생들 중 5명이 S대학에 지원하였을 경우, 그들 중 3명이 합격할 확률을 풀이과정과 함께 제시하시오.

[문항 3] 제시문 [라]를 바탕으로 물음에 답하시오.어느 회사의 직원 1인당 1개월 인터넷 이용 시간은 평균 $\displaystyle m$ , 표준편차 5인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사 직원 100명을 임의추출하여 1개월 인터넷 이용 시간을 조사한 결과, 평균은 $\displaystyle \overline x_1$ 이었고 모평균 $\displaystyle m$ 에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 $\displaystyle 94.71\le m\le97.29$ 이었다. 이후 복원추출 방식으로 이 회사 직원 $\displaystyle n$ 명을 임의추출하여 1개월 인터넷 이용 시간을 다시 조사한 결과, 평균은 $\displaystyle \overline x_2$ 이었고 모평균 $\displaystyle m$ 에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 다음과 같았다. $\displaystyle \frac{10}{16}\overline x_1-1.96\frac5{14}\le m\le\frac{10}{16}\overline x_1+1.96\frac5{14}$ 이러한 두 번의 표본조사 결과를 이용하여 $\displaystyle n+\overline x_2$ 의 값이 얼마인지를 풀이과정과 함께 제시하시오.

해설강의 준비중

숭실대 2024학년도 수시 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2024su/gyeongsang_2

+20점 · - (1-1) 경우의 수 계산 근거식

\displaystyle {}_{9}\mathrm C_7={}_{9}\mathrm C_2=\frac{9!}{7!2!}

을 옳게 설정한 경우 - (1-1) 과목을 선택할 수 있는 경우의 수(36개)를 올바르게 제시한 경우

[문항 1](1-1) 4개의 전공 과목과 5개의 교양 과목을 구분하지 않고 7개의 과목을 선택하는 경우이므로 순서를 고려하지 않는 조합의 경우의 수 $\displaystyle {}_{9}\mathrm C_7$ 를 구하면 됨.즉 $\displaystyle {}_{9}\mathrm C_7={}_{9}\mathrm C_2=\frac{9!}{7!2!}=$ 36가지 경우가 존재함.

+20점 · - (1-2) 경우의 수 계산 근거식

\displaystyle {}_{4}\mathrm C_3\times{}_{5}\mathrm C_4=\frac{4!}{3!1!}\frac{5!}{1!4!}

을 옳게 설정한 경우 - (1-2) 전공과목 선택의 경우의 수와 교양과목 선택의 경우의 수를 올바르게 계산하고 곱셈의 법칙을 적용한 총 경우의 수(20개)를 올바르게 제시한 경우

(1-2) 4개의 전공 과목 중에서 3개, 그리고 5개의 교양 과목 중에서 4개를 구분하여 선택하는 경우이지만, 순서는 고려하지 않고 선택하는 경우이므로 두 가지 조합의 경우의 수를 각각 구하고 곱의 법칙을 적용하면 됨.즉 $\displaystyle {}_{4}\mathrm C_3\times{}_{5}\mathrm C_4=\frac{4!}{3!1!}\frac{5!}{4!1!}=20$ 가지 경우가 존재함.

+20점 · - (2-1) 조건부확률 계산식(

\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

)을 올바르게 제시한 경우 - (2-1) 모의 논술고사에 응시할 확률(

\displaystyle \frac{30}{100}

또는 0.3)을 올바르게 제시한 경우 - (2-1) 모의 논술고사에 응시한 학생이 합격할 조건부확률(

\displaystyle \frac13

)을 올바르게 제시한 경우

[문항 2](2-1) H고등학교 학생이 S대학의 모의 논술고사에 응시하는 사건을 $\displaystyle A$ , S대학에 합격하는 사건을 $\displaystyle B$ 라 하면, 모의 논술고사에 응시한 학생이 합격할 확률은 $\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ 이고, 이 조건부확률은 조건부확률의 분모인 $\displaystyle P(A)$ (H고등학교 학생이 S대학의 모의 논술고사에 응시할 확률)를 먼저 계산해야 구할 수 있음.자료에서 $\displaystyle P(B)=\frac{30}{100}$ , $\displaystyle P(B^c)=1-P(B)=1-\frac{30}{100}=\frac{70}{100}$ , $\displaystyle P(A\mid B)=\frac13$ , $\displaystyle P(A\mid B^c)=\frac27$ 이므로, $\displaystyle P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)=\frac{30}{100}\times\frac13=\frac{10}{100}$ 이고, $\displaystyle P(A\cap B^c)=P(B^c)P(A\mid B^c)=\frac{70}{100}\times\frac27=\frac{20}{100}$ 이며, $\displaystyle P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^c)=\frac{10}{100}+\frac{20}{100}=\frac{30}{100}$ 임.따라서 $\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0.1}{0.3}=\frac13$ 임.

+20점 · - (2-2) 독립시행의 확률 계산식

\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r(p)^r(1-p)^{n-r}={}_{5}\mathrm C_3\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2

을 옳게 설정한 경우: 10점 - (2-2) 독립시행의 확률(

\displaystyle \frac{40}{243}\approx0.1646=16.46\%

)을 옳게 제시한 경우

(2-2) S대학의 모의 논술고사에 응시한 경험이 있는 H고등학교 학생이 합격할 확률이 $\displaystyle \frac13$ 이고, 각 학생의 S대학 합격여부는 서로 독립이므로 올해 S대학의 모의 논술고사에 응시한 학생 중에서 S대학에 5명이 지원하고 그들 중 3명이 합격할 확률은 독립시행의 확률로 구함. $\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r p^r(1-p)^{n-r}={}_{5}\mathrm C_3\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{5!}{2!3!}\frac{2\times2}{3\times3\times3\times3\times3}=\frac{40}{243}\approx0.1646=16.46\%$ 임.

+20점 · - 중간 계산 과정에서

\displaystyle \overline x_1=96

\displaystyle \overline x_2=60

\displaystyle n=196

을 옳게 제시한 경우 -

\displaystyle n+\overline x_2

에 대한 값을 256으로 올바르게 제시한 경우

[문항 3]100명을 임의추출한 표본평균이 $\displaystyle \overline x_1$ 일 때, 모평균 $\displaystyle m$ 에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 $\displaystyle \overline x_1-2.58\frac5{\sqrt{100}}\le m\le\overline x_1+2.58\frac5{\sqrt{100}}$ 이고, 정리하면 $\displaystyle \overline x_1-1.29\le m\le\overline x_1+1.29$ 이다.이를 $\displaystyle 94.71\le m\le97.29$ 와 비교하면, $\displaystyle \overline x_1=96$ 임.한편, $\displaystyle n$ 명을 임의추출한 표본에서 평균이 $\displaystyle \overline x_2$ 일 때, 모평균 $\displaystyle m$ 에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 $\displaystyle \overline x_2-1.96\frac5{\sqrt n}\le m\le\overline x_2+1.96\frac5{\sqrt n}$ 이고, 이를 주어진 식 $\displaystyle \frac{10}{16}\overline x_1-1.96\frac5{14}\le m\le\frac{10}{16}\overline x_1+1.96\frac5{14}$ 과 비교하면, $\displaystyle \overline x_2-1.96\frac5{\sqrt n}=\frac{10}{16}\times96-1.96\frac5{14}$ 이고 $\displaystyle \overline x_2+1.96\frac5{\sqrt n}=\frac{10}{16}\times96+1.96\frac5{14}$ 이므로 두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle \overline x_2=60$ , $\displaystyle n=196$ 임.따라서 $\displaystyle n+\overline x_2=196+60=256$ 임.

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