경상계열 2번

[문항 1](1-1) 4개의 전공 과목과 5개의 교양 과목을 구분하지 않고 7개의 과목을 선택하는 경우이므로 순서를 고려하지 않는 조합의 경우의 수 $\displaystyle {}_{9}\mathrm C_7$를 구하면 됨.즉 $\displaystyle {}_{9}\mathrm C_7={}_{9}\mathrm C_2=\frac{9!}{7!2!}=$ 36가지 경우가 존재함.

(1-2) 4개의 전공 과목 중에서 3개, 그리고 5개의 교양 과목 중에서 4개를 구분하여 선택하는 경우이지만, 순서는 고려하지 않고 선택하는 경우이므로 두 가지 조합의 경우의 수를 각각 구하고 곱의 법칙을 적용하면 됨.즉 $\displaystyle {}_{4}\mathrm C_3\times{}_{5}\mathrm C_4=\frac{4!}{3!1!}\frac{5!}{4!1!}=20$가지 경우가 존재함.

[문항 2](2-1) H고등학교 학생이 S대학의 모의 논술고사에 응시하는 사건을 $\displaystyle A$, S대학에 합격하는 사건을 $\displaystyle B$라 하면, 모의 논술고사에 응시한 학생이 합격할 확률은 $\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$이고, 이 조건부확률은 조건부확률의 분모인 $\displaystyle P(A)$(H고등학교 학생이 S대학의 모의 논술고사에 응시할 확률)를 먼저 계산해야 구할 수 있음.자료에서 $\displaystyle P(B)=\frac{30}{100}$, $\displaystyle P(B^c)=1-P(B)=1-\frac{30}{100}=\frac{70}{100}$, $\displaystyle P(A\mid B)=\frac13$, $\displaystyle P(A\mid B^c)=\frac27$이므로,$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)=\frac{30}{100}\times\frac13=\frac{10}{100}$이고, $\displaystyle P(A\cap B^c)=P(B^c)P(A\mid B^c)=\frac{70}{100}\times\frac27=\frac{20}{100}$이며,$\displaystyle P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^c)=\frac{10}{100}+\frac{20}{100}=\frac{30}{100}$ 임.따라서 $\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0.1}{0.3}=\frac13$ 임.

(2-2) S대학의 모의 논술고사에 응시한 경험이 있는 H고등학교 학생이 합격할 확률이 $\displaystyle \frac13$이고, 각 학생의 S대학 합격여부는 서로 독립이므로 올해 S대학의 모의 논술고사에 응시한 학생 중에서 S대학에 5명이 지원하고 그들 중 3명이 합격할 확률은 독립시행의 확률로 구함.$\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r p^r(1-p)^{n-r}={}_{5}\mathrm C_3\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{5!}{2!3!}\frac{2\times2}{3\times3\times3\times3\times3}=\frac{40}{243}\approx0.1646=16.46\%$ 임.

[문항 3]100명을 임의추출한 표본평균이 $\displaystyle \overline x_1$일 때, 모평균 $\displaystyle m$에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은$\displaystyle \overline x_1-2.58\frac5{\sqrt{100}}\le m\le\overline x_1+2.58\frac5{\sqrt{100}}$이고, 정리하면 $\displaystyle \overline x_1-1.29\le m\le\overline x_1+1.29$ 이다.이를 $\displaystyle 94.71\le m\le97.29$와 비교하면, $\displaystyle \overline x_1=96$ 임.한편, $\displaystyle n$명을 임의추출한 표본에서 평균이 $\displaystyle \overline x_2$일 때, 모평균 $\displaystyle m$에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은$\displaystyle \overline x_2-1.96\frac5{\sqrt n}\le m\le\overline x_2+1.96\frac5{\sqrt n}$이고, 이를 주어진 식 $\displaystyle \frac{10}{16}\overline x_1-1.96\frac5{14}\le m\le\frac{10}{16}\overline x_1+1.96\frac5{14}$과 비교하면, $\displaystyle \overline x_2-1.96\frac5{\sqrt n}=\frac{10}{16}\times96-1.96\frac5{14}$이고 $\displaystyle \overline x_2+1.96\frac5{\sqrt n}=\frac{10}{16}\times96+1.96\frac5{14}$이므로 두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle \overline x_2=60$, $\displaystyle n=196$ 임.따라서 $\displaystyle n+\overline x_2=196+60=256$ 임.