자연계열 1번

큰 원은 반지름이 $\displaystyle \frac{1+t}2$이고 중심의 좌표는 $\displaystyle \mathrm C\left(\frac{t-1}2,0\right)$이다. 작은 원은 반지름이 $\displaystyle \frac{1-t}2$이고 중심의 좌표는 $\displaystyle \mathrm E\left(\frac{t+1}2,0\right)$이다.(1) $\displaystyle x$축과 직선 $\displaystyle \ell$, 그리고 각 원의 반지름으로 이루어지는 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 $\displaystyle \mathrm{ADE}$는 닮음비가 $\displaystyle \frac{1+t}2:\frac{1-t}2$인 직각삼각형이다. 그런데 직선 $\displaystyle \ell$의 $\displaystyle x$절편을 $\displaystyle x_0$라 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 빗변 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 길이는 $\displaystyle x_0+\frac{1-t}2$, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ADE}$의 빗변 $\displaystyle \mathrm{AE}$의 길이는 $\displaystyle x_0-\frac{t+1}2$이다.그러므로$\displaystyle \left(x_0+\frac{1-t}2\right):\left(x_0-\frac{t+1}2\right)=\frac{1+t}2:\frac{1-t}2$가 성립하고, 따라서$\displaystyle (t+1)(2x_0-(t+1))=(1-t)(2x_0+(1-t))\ \Rightarrow\ x_0=\frac{t^2+1}{2t}$이다.또한 $\displaystyle \ell$의 기울기를 $\displaystyle a$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}=\frac{1-t}{2t}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}=\frac{1-t}2$이므로, $\displaystyle \angle\mathrm{DAE}=\theta$일 때$\displaystyle \sin\theta=\frac{\frac{1-t}2}{\frac{1-t}{2t}}=t,\quad a=-\tan\theta=-\frac t{\sqrt{1-t^2}}$이다.그러므로 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은$\displaystyle y=-\frac t{\sqrt{1-t^2}}\left(x-\frac{t^2+1}{2t}\right)=-\frac t{\sqrt{1-t^2}}x+\frac{t^2+1}{2\sqrt{1-t^2}}$이다.

(2) 직선 $\displaystyle \ell$의 $\displaystyle y$절편이 $\displaystyle f(t)=\frac{t^2+1}{2\sqrt{1-t^2}}$이므로$\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt2}f(t)\,dt=\int_{1/2}^{1/\sqrt2}\frac{t^2+1}{2\sqrt{1-t^2}}\,dt$이고, $\displaystyle t=\sin\theta$로 치환하면 $\displaystyle \frac{dt}{d\theta}=\cos\theta$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_{1/2}^{1/\sqrt2}f(t)\,dt&=\int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{(\sin^2\theta+1)\cos\theta}{2\sqrt{1-\sin^2\theta}}\,d\theta\\&=\frac12\int_{\pi/6}^{\pi/4}(\sin^2\theta+1)\,d\theta\\&=\frac14\int_{\pi/6}^{\pi/4}(3-\cos2\theta)\,d\theta\\&=\frac14\Biggl[3\theta-\frac12\sin2\theta\Biggr]_{\pi/6}^{\pi/4}=\frac{\pi-2+\sqrt3}{16}\end{aligned}$이다.