자연계열 2번

(1) $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)=2x+k>1$이 성립한다.함수 $\displaystyle g(x)$의 미분계수가 항상 양수이므로 $\displaystyle x>1$에서 함수 $\displaystyle g(x)$의 역함수 $\displaystyle h(x)$의 미분계수가 항상 존재한다. 이때 $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac1{g^{\prime}(h(x))}$이므로 $\displaystyle 0<h^{\prime}(x)<1$이다.함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle 2n\le x\le2n+2$일 때 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-2n&(2n\le x<2n+1)\\-x+2n+2&(2n+1\le x\le2n+2)\end{cases}$$\displaystyle 2n<x<2n+1$ 또는 $\displaystyle 2n+1<x<2n+2$일 때 함수 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하므로 함수 $\displaystyle u(x)$ 역시 $\displaystyle 2n<x<2n+1$ 또는 $\displaystyle 2n+1<x<2n+2$일 때 미분가능하고, 이때 도함수 $\displaystyle u^{\prime}(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle u^{\prime}(x)=\begin{cases}h^{\prime}(x)-1&(2n<x<2n+1)\\h^{\prime}(x)+1&(2n+1<x<2n+2)\end{cases}$$\displaystyle h^{\prime}(x)-1<0$, $\displaystyle h^{\prime}(x)+1>0$이므로 $\displaystyle u(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

(2) $\displaystyle 1<x<2$일 때 $\displaystyle u^{\prime}(x)=h^{\prime}(x)+1>0$이므로 $\displaystyle 1\le x\le2$에서 함수 $\displaystyle u(x)$는 증가한다. 또한 $\displaystyle u(1)=-1$, $\displaystyle u(2)=h(2)>0$이므로 $\displaystyle 1\le x\le2$일 때 함수 $\displaystyle u(x)$의 그래프는 $\displaystyle x$축과 한 점에서 만나게 된다.$\displaystyle n$이 양의 정수일 때 문항 (1)의 증감표에 의하여 함수 $\displaystyle u(x)$는 $\displaystyle 2n\le x\le2n+1$에서 감소하고 $\displaystyle 2n+1\le x\le2n+2$에서 증가하며, $\displaystyle u(2n)=h(2n)>0$이고 $\displaystyle u(2n+2)=h(2n+2)>0$이다.따라서 $\displaystyle 2n\le x\le2n+2$에서 함수 $\displaystyle u(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축의 교점의 개수는 다음과 같이 주어진다.(a) $\displaystyle u(2n+1)=h(2n+1)-1>0$: 교점의 개수는 0개이다.(b) $\displaystyle u(2n+1)=h(2n+1)-1=0$: 교점의 개수는 1개이다.(c) $\displaystyle u(2n+1)=h(2n+1)-1<0$: 교점의 개수는 2개이다.함수 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이므로, $\displaystyle h(2n+1)<h(2n+3)$이다. 따라서, 구간 $\displaystyle [2n,2n+2]$에서 경우 (a) 또는 (b)가 발생하면, 다음 구간 $\displaystyle [2n+2,2n+4]$에서는 반드시 경우 (a)가 발생한다.그러므로 함수 $\displaystyle u(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축이 1001개의 점에서 만나기 위해서는 $\displaystyle 1<x<2$에서 한 번 만나고, 경우 (c)가 정확히 500번 발생하여야 한다. 즉 다음이 성립하여야 한다.$\displaystyle \begin{gathered}h(2\cdot1+1)<1,\\h(2\cdot2+1)<1,\\\vdots\\h(2\cdot500+1)<1,\\h(2\cdot501+1)>1\end{gathered}$함수 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이므로 $\displaystyle h(1001)<1$, $\displaystyle h(1003)>1$이 성립하면 충분하다.$\displaystyle \begin{aligned}h(1001)<1&\Leftrightarrow g(h(1001))=1001<g(1),\\h(1003)>1&\Leftrightarrow g(h(1003))=1003>g(1)\end{aligned}$이므로 $\displaystyle 1001<g(1)<1003$, 즉 $\displaystyle 1001<k+2<1003$이 성립해야 한다. 따라서 구하는 실수 $\displaystyle k$의 값의 범위는$\displaystyle 999<k<1001$이다.